शब्दावली: स्थानीय रूप से विपुल समूहों का चिकना प्रतिनिधित्व।
लश्कर $G$ स्थानीय स्तर पर एक उत्कृष्ट समूह हो।
एक चिकनी प्रतिनिधित्व एक जटिल प्रतिनिधित्व है ($V,\rho$) का $G$ ऐसा है कि किसी के स्टेबलाइजर $v \in V$ खुला हैं।
एक (जैसा कि दिखा सकते हैं $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ एक झूठ समूह है और NSS है), (परिमित आयामी) का प्रतिनिधित्व $G$ निरंतर है अगर और केवल अगर $\ker(\rho)$ खुला हैं।
इसलिए, परिमित आयामों में, निरंतर अभ्यावेदन सुचारू होते हैं।
इसके अलावा, के रूप में $$ \ker(\rho) = \cap_v \text{Stab}_G(v), $$ और दाईं ओर के चौराहे को परिमित आयामी के लिए परिमित के रूप में लिया जा सकता है $V$, चिकनी भी निरंतर का तात्पर्य है। तो ये परिमित आयामों के लिए समान हैं।
अनंत आयामों के बारे में क्या? या तो दूसरे का मतलब है?
इस शब्दावली का कारण क्या है? मैं केवल इसलिए पूछता हूं क्योंकि मैं यह सोचने के लिए सशर्त हूं कि इन निहितार्थों का तात्पर्य निरंतर होना चाहिए, और जरूरी नहीं कि दूसरे तरीके से!
जवाब
मुझे लगता है कि यहां निरंतर रहने का मतलब है नक्शा $P:G \times V \rightarrow V$निरंतर है, V को असतत टोपोलॉजी दिया गया है। तब चिकनी निश्चित रूप से निरंतर होती है, शाब्दिक रूप से परिभाषा द्वारा (पी के तहत एक एकल वेक्टर के व्युत्क्रम छवि की जांच करें)
लेकिन मुझे नहीं लगता कि दूसरा पक्ष सही है क्योंकि यह समूह पर निर्भर होना चाहिए।
पहले से $G=\mathbb Z_p$ अभिनय कर रहे $L^2(\mathbb Z_p)$ अनुवाद में निरंतरता है, लेकिन स्थानीय रूप से स्थिर कार्यों को करना आसान नहीं है $L^2(\mathbb Z_p)$।
इसके अलावा, यह कहना भ्रामक है कि चिकनी रेप स्पेस में "कोई टोपोलॉजी नहीं है" या "असतत टोपोलॉजी" है। बल्कि, उनके पास अपने परिमित-आयामी उप-स्थानों के आरोही संघ के रूप में व्यक्त होने से कॉलिमिट टोपोलॉजी है। हां, इस तरह के अंतरिक्ष से हर रैखिक नक्शा निरंतर है ... यही कारण है कि टोपोलॉजी के बारे में गलत टिप्पणी सीधे आपदा की ओर नहीं ले जाती है। :)
तो, सबसे अच्छे मामले में, प्रत्येक कॉम्पैक्ट ओपन के लिए $K$ में $G$, उप $V^K$ का $K$-सुपरक्षित वैक्टर परिमित आयामी है, और $V=\bigcup V^K$। इसके लिए ऐसा नहीं है$V=L^2(\mathbb Z_p)$, लेकिन के लिए सही है$V$ $K$-अंतर वैक्टर। इस तरह बातें।