सभी कार्यों का पता लगाएं $f$ ऐसा है कि $f(mn) = f(m)f(n)$ तथा…

Aug 16 2020

सभी कार्यों का पता लगाएं $f : N → N$ ऐसा है कि

(ए) $f(2) = 2$

(ख) $f(mn) = f(m)f(n)$ सबके लिए $m, n ∈ N$

(सी) $f(m) < f(n)$ के लिये $m < n$

सबसे पहले, मैंने प्रतिस्थापित किया $m=1,n=2$ लेना $f(1)=1$। इसके बाद, हम आसानी से देख सकते हैं कि सभी शक्तियाँ$2$खुद के बराबर होगा। अर्थात्$f(4)=4,f(8)=8$, और इसी तरह। अब, अगला चरण मैं निश्चित नहीं हूं कि यह सही है। जैसा$f(4)>f(3)>f(2)$, तथा $f : N → N$, मुझे लगता है $f(3)$ केवल किया जा सकता हैं $3$लेकिन फिर से मुझे यकीन नहीं है। यदि ऐसा है, तो मेरा मानना ​​है कि एकमात्र संभव कार्य है$f(x)=x$

अब समस्या के अगले भाग के लिए-

अगर तीसरी शर्त हमें नहीं दी जाती है तो क्या होगा?

दुर्भाग्य से, मेरे पास समस्या का जवाब नहीं है, मैं अकेला समाधान देता हूं। कोई संकेत भी मददगार होगा, धन्यवाद।

जवाब

2 TheSilverDoe Aug 16 2020 at 17:56

और आसानी से :

अगर $f(1)=1$ तथा $f(2^n)=2^n$, और क्योंकि आपके पास है $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$

एकमात्र संभावना यह है कि $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=4$ और इसी तरह।