साबित हो रहा है कि अगर $X=\{(x,y) \in \mathbb R^2:y=mx + b\}$, फिर $X \cong \mathbb R$

Aug 18 2020

मेरी सामान्य टोपोलॉजी की पाठ्यपुस्तक में निम्नलिखित अभ्यास है:

लश्कर $m, c \in \mathbb R$ तथा $X$ का उप-समूह $\Bbb R^2$ के द्वारा दिया गया $X=\{(x,y) \in \mathbb R^2:y=mx + b\}$। साबित करो$X$ होमोमोर्फिक है $\Bbb R$

मैं इसके लिए एक सबूत के साथ आया था, लेकिन मुझे लगता है कि मैंने इसे जटिल कर दिया, फिर भी मैं अभी भी जानना चाहता हूं कि यह सही है या नहीं।


मेरा प्रमाण:

पुन: परिभाषित करें $X$ जैसा: $X = \{(t,mt+c):t \in \Bbb R\}$। अब हम निम्नलिखित फफूंद को परिभाषित कर सकते हैं:

$$f:\Bbb R \to X$$ $$f(x)=(x,mx + c)$$

यह फ़ंक्शन एक आपत्ति है। अब हम यह साबित करेंगे$f$निरंतर है। लश्कर$\mathcal B_{X}$ टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए आधार को निरूपित करें $(X,\tau_X)$। लश्कर$\mathcal B$ के लिए आधार बनो $(\mathbb R,\tau)$ तथा $\mathcal B'$ के लिए आधार $ (\mathbb R^2,\tau')$

लश्कर $A \in \tau_X$, तो हमारे पास कुछ इंडेक्स सेट के लिए है $I$, $A = \bigcup\limits_{i \in I} B_i$, साथ में $B_i \in \mathcal B_X$

तो हमारे पास यह है: $$f^{-1}(A) = \bigcup_{i \in I} f^{-1}(B_i)$$

चलो परिभाषित करते हैं $S_{a \to b}^{c \to d} := \{(x,y) \in \mathbb R^2 : a < x < b \text{ and } c < y < d\}$। फिर हमारे पास वह है$\mathcal B' = \{S_{a \to b}^{c \to d}: a,b,c,d \in \mathbb R\}$, इसलिए क्योंकि $(X,\tau_X)$ का एक उप-स्थान है $\mathbb R^2$ हमारे पास प्रत्येक के लिए है $i$:

$$B_i = S_{a_i \to b_i}^{c_i \to d_i} \cap X $$

कुछ के लिए $a_i, b_i, c_i, d_i$

तो हमारे पास:

$$\bigcup_{i \in I} f^{-1}(B_i) = \bigcup_{i \in I} f^{-1}( S_{a_i \to b_i}^{c_i \to d_i} \cap X )$$

हमारे पास वह है $f^{-1}( S_{a_i \to b_i}^{c_i \to d_i}\cap X ) = (\alpha_i, \beta_i) \subset \mathbb R$, कुछ के लिए $\alpha_i, \beta_i \in \mathbb R$:

तो हमारे पास यह है: $$\bigcup_{i \in I} f^{-1}( S_{a_i \to b_i}^{c_i \to d_i} \cap X ) = \bigcup_{i \in I}\ (\alpha_i,\beta_i)$$

क्योंकि प्रत्येक $(\alpha_i,\beta_i) \in \tau$, फिर $\bigcup\limits_{i \in I}\ (\alpha_i,\beta_i) \in \tau$, तो हमारे पास वह है $f$ निरंतर है।

अब छोडो $A \in \tau$, तो हमारे पास कुछ इंडेक्स सेट के लिए है $J$, उस $A = \bigcup\limits_{j \in J} \ (\alpha_j , \beta_j)$ के लिये $(\alpha_j , \beta_j) \in \tau$

$$f(A) = \bigcup_{j \in J} f((\alpha_j , \beta_j))$$

चूंकि $f^{-1}( S_{a_j \to b_j}^{c_j \to d_j} \cap X ) = (\alpha_j, \beta_j)$, फिर सभी के लिए $(\alpha_j, \beta_j):$ $$f((\alpha_j, \beta_j)) = S_{a_j \to b_j}^{c_j \to d_j} \cap X$$

तो हमारे पास यह है:

$$\bigcup_{j \in J} f((\alpha_j , \beta_j)) = \bigcup_{j \in J} (S_{a_j \to b_j}^{c_j \to d_j} \cap X)$$

चूंकि $(S_{a_j \to b_j}^{c_j \to d_j} \cap X) \in \mathcal B_X \subset \tau_X$, तो हमारे पास वह है $\bigcup_{j \in J} (S_{a_j \to b_j}^{c_j \to d_j} \cap X) = f(A) \in \tau_X$, तो हमारे पास वह है $f^{-1}$ निरंतर है।

इसलिए वहां मौजूद है $f: \mathbb R \to X$ ऐसा है कि $f$ जीवनी, महाद्वीप और है $f^{-1}$ निरंतर है, यह $\mathbb R \cong X$


तो मेरा प्रश्न यह है कि क्या यह प्रमाण सही है? इसे सुधारने के लिए मैं क्या कर सकता हूं? क्या यह साबित करने का एक और सीधा तरीका है?

जवाब

1 MattSamuel Aug 19 2020 at 16:20

बस इस सवाल का जवाब है, चलो टिप्पणियों को योग करें। आपका प्रमाण सही है, और व्यापक अर्थ में यह उतना ही सरल है जितना कि यह मिलता है। हालाँकि, मुख्य बिंदु जो आपके प्रमाण को लंबा बनाता है वह यह है कि यद्यपि आप जानते हैं कि$$f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I} B_i\right) = \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)$$और आप अपने प्रमाण में इस महत्वपूर्ण तथ्य का उपयोग करते हैं, आप आधार तत्वों की यूनियनों को ले जाना जारी रखते हैं। आप बस साबित कर सकते हैं, एक बार, कि इस पहचान के कारण, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है$f^{-1}(B)$ प्रत्येक आधार तत्व के लिए खुला है $B$ (इसके विपरीत, $f(B)$ डोमेन स्पेस में भी आधार तत्व के लिए खुला है)।