साबित हो रहा है कि $(M \otimes_A N)_q = M_p \otimes_{A_p} N_q$ एक प्रधानमंत्री के लिए $q$ लेटा हुआ $p$

Question

चलो $f : A \to B$unital कम्यूटेटिव रिंग्स के बीच एक मॉर्फिज्म हो। हम इस प्रकार विचार कर सकते हैं$B$-मॉड्यूल्स के रूप में $A$इस नक्शे के माध्यम से -modules, और $A$-मॉड्यूल्स के रूप में $B$-मॉड्यूल के माध्यम से टेंसिंग के माध्यम से $- \otimes_A B$।

नहीं दें $M$ तथा $N$ हो $A$- तथा $B$-मॉड्यूल्स क्रमशः। प्राइम दिया$q$ का $B$ और एक प्रमुख पर झूठ बोल रही है $p$ में है $A$, हम वह जानते हैं $f$ संबंधित स्थानीयकरणों के बीच एक मानचित्र पर उतरता है और इसलिए जैसा कि ऊपर संबंधित पत्राचार उनके संबंधित मॉड्यूल के लिए है।

मैं वह दिखाना चाहता हूं $$ M_p \otimes_{A_p} N_q \simeq (M \otimes_A N)_q, $$ जैसा $B_q$-मॉड्यूल।

मेरा तर्क इस प्रकार है: चूंकि

$$ (M \otimes_A N)_q \simeq M \otimes_A N \otimes_B B_q \simeq M \otimes_A N_q, $$

तथा $N_q$ एक है $B_q$-मॉड्यूल, यह एक है $A_p$-मुद्दे, इसलिए $N_q \simeq A_p \otimes_{A_p} N_q$ और इसीलिए

$$ (M\otimes _A N)_q \simeq M \otimes_A A_p \otimes_{A_p} N_q \simeq M_p \otimes_{A_p} B_q. $$

यह ठीक लगता है, लेकिन मैं इसके बारे में ज्यादा परवाह किए बिना "विभिन्न रिंगों के संबंध में टेंसर उत्पाद की संबद्धता" का उपयोग कर रहा हूं।

एक पवित्रता की जाँच और / या एक संदर्भ बहुत सराहना की जाएगी।

Answer 1

आपका तर्क काम करता है! आपने बस इस तथ्य को लागू किया है कि यदि$f : A\to B$ एक रिंग मॉर्फिज्म है, $M$ एक अधिकार है $A$-मापांक, $N$ एक है $(A,B)$-बिमोडुले, और $L$ एक बायाँ है $B$-मोडुले, तब $(M\otimes_A N)\otimes_B L\cong M\otimes_A (N\otimes_B L)$( यहाँ देखें )। इस तथ्य को हम कहते हैं$(*).$ जैसा कि आप जानते हैं, यदि $M$ एक $R$-मॉड्यूल और $S\subseteq R$ एक गुणक सेट है, फिर $S^{-1}M\cong M\otimes_R S^{-1}R;$ इस तथ्य को बुलाओ $(**).$ फिर आपका तर्क निम्नलिखित गणना है: \begin{align*} (M\otimes_A N)_q &\cong (M\otimes_A N)\otimes_B B_q\qquad\quad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A(N\otimes_B B_q)\qquad\quad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M\otimes_A N_q\qquad\qquad\qquad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A (A_p\otimes_{A_p} N_q)\qquad\textrm{because }R\otimes_R M\cong M\\ &\cong (M\otimes_A A_p)\otimes_{A_p} N_q\qquad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M_p\otimes_{A_p} N_q\qquad\qquad\quad\textrm{(using (**))}. \end{align*}