साबित करो $_4F_3\left(\frac13,\frac13,\frac23,\frac23;1,\frac43,\frac43;1\right)=\frac{\Gamma \left(\frac13\right)^6}{36 \pi ^2}$
मुझे एमओ में सामान्यीकृत हाइपरजोमेट्रिक श्रृंखला के बारे में एक दिलचस्प समस्या मिली , जिसमें कहा गया है:
$$\, _4F_3\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};1,\frac{4}{3},\frac{4}{3};1\right)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(\frac13)_k (\frac23)_k}{(1)_k (\frac43)_k}\right)^2=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^6}{36 \pi ^2}$$
यह संख्यात्मक रूप से सहमत है, लेकिन मुझे हाइपरमेट्रिक कार्यों (जैसे चक्रीय योग) या शास्त्रीय गामा सूत्र (जैसे डगल सूत्र) के प्राथमिक गुणों का उपयोग करते हुए कोई प्रमाण नहीं मिला। मुझे यकीन है कि यह मॉड्यूलर रूपों और अण्डाकार के साथ कुछ करना है$K$ अभिन्न, लेकिन सटीक संबंध मायावी रहते हैं।
इस पहचान को कैसे साबित करें ? इसकी प्रेरणा क्या होगी? क्या हम इसे साबित करने के तरीके का उपयोग करके उच्च क्रम के हाइपरजोमेट्रिक श्रृंखला के अन्य गामा मूल्यांकन उत्पन्न कर सकते हैं? किसी भी तरह की सहायता को आभार समझेंगे।
जवाब
लश्कर $S$ दिया जाना $_4F_3$, तब (पहली समता समाकलन समाकलन से आती है), $$\begin{aligned} S &= -\frac{1}{9}\int_0^1 t^{-2/3} (\log t) {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt =-\frac{1}{9} \frac{d}{da} \left(\int_0^1 t^{-2/3+a} {_2F_1}(2/3,2/3;1;t)dt \right)_{a=0}\\ &= -\frac{1}{9}\frac{d}{da}\left(\frac{\, _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right)}{ a+1/3}\right)_{a=0} \end{aligned}$$
यह आसानी से देखा जाता है $A=\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)/\Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2$ का मान है $_3F_2$ पर $a=0$( डिक्सन )। सेट$$\begin{aligned} &{d_{2/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3} + a,\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_1} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1 + a,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \\ &{d_{1/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3} + a;1,\frac{4}{3};1)} \right)_{a = 0}} \qquad {d_{4/3}} = \frac{d}{{da}}{\left( {{_3F_2}(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};1,\frac{4}{3} + a;1)} \right)_{a = 0}}\end{aligned}$$
बहुक्रियाशील श्रृंखला नियम द्वारा, $$S = A -\frac{1}{3}(d_{1/3}+d_{4/3})\tag{*}$$
सामान्य तौर पर, व्युत्पन्न $_pF_q$एक पैरामीटर के संबंध में असाध्य है। कोई केवल उन्हें तदर्थ तरीके से संभाल सकता है। हमारी स्थिति में, यह सर्वविदित है$_3F_2$ पर $1$कुछ परिवर्तनों को संतुष्ट करता है: दो जनरेटर यहां पहली और तीसरी प्रविष्टि हैं । इन दो प्रविष्टियों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं$$\begin{aligned} & \quad _3F_2\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},a+\frac{1}{3};1,a+\frac{4}{3};1\right) \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}-a;1,\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{4}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)} \\ &= \frac{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \, _3F_2\left(a+\frac{1}{3},a+\frac{2}{3},a+\frac{2}{3};a+1,a+\frac{4}{3};1\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}-a\right) \Gamma (a+1)} \\ &= \frac{\Gamma \left(-\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right) \, _3F_2\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},a+1;1\right)}{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right) \Gamma (a+1)}+\frac{\Gamma \left(\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{1}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{4}{3}\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{3}\right) \Gamma \left(a+\frac{2}{3}\right)^2} \end{aligned}$$
इन चारों को ध्यान से देखें $_3F_2$ ऊपर, उनके तर्क सभी को पसंद हैं $(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$, फर्क सिर्फ इतना है $a$विभिन्न स्थानों पर दिखाई देता है। इससे पता चलता है कि क्यों$(2/3,2/3,1/3;1,4/3)$ विशेष है।
एक परिचालन परिभाषा प्रस्तुत करें: लिखें $x\equiv y$ अगर $x-y$"गामा कारकों का रैखिक संयोजन" है। उदाहरण के लिए,$x\equiv y$ अगर $x-y = A$। अब व्युत्पन्न पर ले लो$a=0$, हमने प्राप्त किया $$\tag{**}d_{1/3}+d_{4/3} \equiv -d_{2/3} \equiv d_{1/3}+2d_{2/3}+d_1+d_{4/3} \equiv -d_1$$ इस प्रणाली को हल करने देता है $$d_1 \equiv d_{2/3} \equiv d_{1/3}+d_{4/3} \equiv 0$$
इस प्रकार $d_{1/3}+d_{4/3}$ गामा समारोह में व्यक्त किया जा सकता है, तो कर सकते हैं $S$ इसके अनुसार $(*)$।
बनाने में कोई कठिनाई नहीं है $(**)$ स्पष्ट: $$d_{1/3}+d_{4/3}=\left(3-\frac{\pi }{\sqrt{3}}\right) A-d_{2/3}=d_1+d_{1/3}+2 d_{2/3}+d_{4/3}+\frac{1}{6} A \left(\sqrt{3} \pi -9 \log (3)\right)=-d_1+\frac{1}{2} A \left(\pi \sqrt{3}-6+3 \log (3)\right)+\frac{3 \left(3 \sqrt{3}-2 \pi \right) \Gamma \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Gamma \left(\frac{7}{6}\right)^2}{\sqrt[3]{2} \pi ^2}$$
हल देता है $d_{1/3}+d_{4/3} = \dfrac{2 \sqrt{\pi } \left(27-4 \sqrt{3} \pi \right) \Gamma \left(\frac{13}{6}\right)}{21 \Gamma \left(\frac{5}{6}\right)^2}$। हम भी मूल्यों को प्राप्त करते हैं$d_1, d_{2/3}$ उत्पादों के रूप में।
वाह! अद्भुत! 9 साल बाद हल किया! इसे खोदने के लिए सभी का धन्यवाद, और फिर इसे हल करने के लिए। क्या यह सामान्य रूप दे सकता है
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)$$
मुझे शायद इसके लिए कुछ प्रेरणाएँ देनी चाहिए। निम्नलिखित पेपर में, मैंने एक नियमित रूप से 0 से शुरू होने वाले एक प्लानर ब्राउनियन गति के अपेक्षित निकास समय को देखा$m$-गन 0 पर केंद्रित:
https://projecteuclid.org/euclid.ecp/1465262013
यह (एक स्थिरांक तक जो बहुभुज के आकार पर निर्भर करता है)
$$_4F_3(\frac1m,\frac1m,\frac2m,\frac2m;\frac{m+1}m,\frac{m+1}m,1;1)\times \frac{m^2}{\beta(1/m,(m-2)/m)^2},$$
जो वास्तव में जीभ बंद नहीं करता है। हालाँकि, एक समबाहु त्रिभुज के लिए यह गणना करने के लिए एक अलग विधि है, और यह देता है$1/6$। तो हम दोनों की बराबरी करके एक पहचान प्राप्त करते हैं, और वह पहचान है। अब, सवाल यह है कि क्या हम इस पद्धति का उपयोग करने के लिए एक अच्छे अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं$_4F_3$ बड़े के लिए $m$? यह तब नियमित से ब्राउनियन गति के अपेक्षित निकास समय के लिए एक अच्छा अभिव्यक्ति होगी$m$gon के।
इस सभी का विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक (यानी संभाव्य नहीं) संस्करण यहां पाया जा सकता है, क्योंकि अपेक्षित निकास समय मूल रूप से हार्डी एच ^ 2 मानदंड है, एक निरंतर तक।
https://arxiv.org/abs/1205.2458