सकारात्मक अहसास संतुष्ट करते हैं $ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $, निम्नलिखित मात्रा का अधिकतम निर्धारण करें
तो, सकारात्मक वास्तविक निम्नलिखित को संतुष्ट करते हैं
$$ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $$
और मुझे निम्नलिखित मात्रा में अधिकतम खोजने की आवश्यकता है।
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$
अब, कैची श्वार्ज असमानता का उपयोग करते हुए, मुझे मिल गया
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right)^2 \leqslant \underbrace{(1+1+\cdots + 1)}_{\text{24 times}} \left( \sum_{i=1}^{24} x_i \right) $$
इससे यह होगा
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \leqslant \sqrt{24} $$
मैं दूसरे भाग के साथ फंस गया हूं। मैं इसी तरह की तकनीक का उपयोग करके न्यूनतम प्राप्त कर सकता हूं।
$$ \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$
लेकिन मुझे इस मात्रा को अधिकतम करने की आवश्यकता है, ताकि मैं दोनों को मिला सकूं। कोई संकेत मदद करेगा।
जवाब
हम दूसरी राशि को इस प्रकार से बांध सकते हैं। कॉची-श्वार्ज़ असमानता का उपयोग करते हुए, हमारे पास निम्नलिखित हैं।
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)\underbrace{(1+1+\cdots +1)}_{\text{24 times}} $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \, \cdots \cdots \cdots(1) $$
अब, मैं होल्डर की असमानता का उपयोग करूंगा।
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{24} (1+x_i) \right)^{1/2} \leqslant \left[ \sum_{i=1}^{24} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x_i}}\right) \left(\sqrt{1+x_i}\right) \right] $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \sqrt{25} \leqslant 24 $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^2}{25} $$
$$ 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^3}{25} $$
तो, समीकरण के साथ संयोजन $(1)$, मुझे समझ आ गया,
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \frac{24^3}{25} $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{3/2}}{5} $$
अंत में, दोनों राशियों को मिलाकर, मुझे मिलता है
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \sqrt{24} \,\frac{24^{3/2}}{5} $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{2}}{5} $$
उम्मीद है की वो मदद करदे