सकारात्मक आयामी फाइबर के साथ एक रूपवाद का अपघटन
यह सर्वविदित है कि प्रोजेक्टिव किस्मों के बीच किसी भी प्रकार का द्विअर्थी आकारवाद ब्लो अप्स का एक क्रम है। अब मान लीजिए कि मेरा आकारिकी है$f:X \to Y$ सकारात्मक आयामी तंतुओं के साथ, जो कि एक खुले उपसमूह पर एक प्रक्षेप्य बंडल है $Y$। हम भी मान सकते हैं$Y$चिकनी, भले ही मुझे नहीं लगता कि यह आवश्यक है। क्या यह अब भी सच है$X$ पर एक प्रक्षेप्य बंडल की उड़ा-अप है $Y$?
जवाब
मैं एक उत्तर के रूप में अपनी टिप्पणी पोस्ट कर रहा हूं। यह सापेक्ष आयाम के लिए पहले से ही विफल है$1$ जब आधार योजना में आयाम हों $n$ कम से कम $3$।
चलो $k$एक क्षेत्र बनो। चलो$n\geq 3$पूर्णांक बनें। अस्वीकार करें$\text{Proj}\ k[x_0,x_1,x_2, \dots,x_n]$ द्वारा द्वारा $\mathbb{P}^n_k$। अस्वीकार करें$\text{Proj}\ k[y_0,y_1,y_2]$ द्वारा द्वारा $\mathbb{P}^2_k$। द्वारा निरूपित करें$X$ में hypersurface $\mathbb{P}^2_k\times_{\text{Spec}\ k}\mathbb{P}^n_k$ बायोहोमोजीनस परिभाषित समीकरण के साथ, $$f=x_0y_0 + x_1y_1 + x_2y_2.$$ से प्रक्षेपण $X$ सेवा $\mathbb{P}^2_k$ रिश्तेदार आयाम का एक जरिस्की-स्थानीय-तुच्छ प्रोजेक्टिव बंडल है $n-1$। विशेष रूप से,$X$ एक चिकनी है $k$-शमी SGA 2 से पिकार्ड समूहों पर Grothendieck-Lefschetz प्रमेय द्वारा, Picard समूहों का प्रतिबंध समरूपता एक समरूपतावाद है,$$\text{res}:\text{Pic}(\mathbb{P}^2_k\times_{\text{Spec}\ k}\mathbb{P}^n_k) \xrightarrow{\cong} \text{Pic}(X).$$ बेशक पहला पिकार्ड समूह है $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$। इसके अलावा पहले पिकार्ड समूह में नेफ शंकु है$\mathbb{Z}_{\geq 0}\times \mathbb{Z}_{\geq 0}$। इसे देखने का एक तरीका यह है कि प्रत्येक प्रक्षेपण के तंतुओं में रैखिक तर्कसंगत वक्रों ("रेखाओं") के लिए पर्याप्त उल्टे शीशों के प्रतिबंध पर विचार किया जाए। चूंकि बंद उपसमूह$X$ इस तरह की लाइनें शामिल हैं, यह निम्नानुसार है कि प्रतिबंध आइसोमोर्फिज्म भी नेफ शंकु के एक आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है।
विशेष रूप से, पर्याप्त शंकु $X$ बराबर होता है $\mathbb{Z}_{>0}\times \mathbb{Z}_{>0}$, ताकि गैर-पर्याप्त नेफ विभाजक उन हैं जो नेफ शंकु की "सीमा" में हैं, अर्थात, $$\{(0,0)\}\sqcup \left(\mathbb{Z}_{>0}\times \{0\}\right) \sqcup\left( \{0\}\times \mathbb{Z}_{>0}\right). $$ सीमा के इस विभाजन के पहले घटक में इन्वर्टिबल शेफ सिर्फ संरचना शीफ है, और संबंधित संकुचन $X$ निरंतर है $k$-मॉर्फिज़्म टू $\text{Spec}\ k$। दूसरा घटक प्रक्षेपण को देता है$\mathbb{P}^2_k$, और तीसरा घटक प्रक्षेपण को देता है $\mathbb{P}^n_k$। चूँकि इनमें से कोई भी संकुचन ऊबाऊ नहीं है, यह इस प्रकार है$X$ कुछ प्रोजैक्टिव स्कीम को उड़ाना नहीं है, सिवाय एक "ब्लोइंग अप" के जो कि एक आइसोमोर्फिज्म है।
इस प्रकार, से प्रक्षेपण आकारवाद $X$ सेवा $\mathbb{P}^n$nontrivial उड़ाने के माध्यम से कारक नहीं है। इस प्रक्षेपण का प्रतिबंध बंद उपसमूह पर सपाट है$\text{Zero}(x_0,x_1,x_2)$, और प्रतिबंध इस बंद उपसमूह के खुले पूरक पर सपाट है। हालाँकि, बंद उपसमूह पर फाइबर आयाम है$2$, जबकि ओपन सबकेम पर फाइबर का आयाम है $1$। इस प्रकार, यह प्रक्षेपण एक प्रक्षेप्य स्थान बंडल नहीं है, हालांकि यह सापेक्ष आयाम का एक अनुमानित स्थान बंडल है$2$, प्रतिक्रिया। सापेक्ष आयाम के$1$, जब बंद उपसमूह पर प्रतिबंधित, सम्मान। खुले उपसमूह पर।