समझ में नहीं आता कि यह संयुक्त पीडीएफ कैसे काम करता है
यह प्रश्न MIT 6.041 OCW से आता है।
मैं इस सवाल का हिस्सा बी नहीं समझता, विशेष रूप से कैसे $f_X(x)$ तथा $f_{Y|X}(y|0.5)$ गणना की जाती है।
जहां तक मैं समझता हूं, आप संयुक्त पीडीएफ को एकीकृत करके सीमांत पीडीएफ प्राप्त करते हैं, अर्थात $f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$।
यह पहले से ही बहुत भ्रम की स्थिति में है:
आरेख के अनुसार, दो हैं $f_{X,Y}(x,y)$: $1/2$ तथा $3/2$। इसलिए इन दोनों को एकीकृत करके हम प्राप्त करते हैं$\frac{1}{2}y$ तथा $\frac{3}{2}y$ क्रमशः - इसलिए जो माना जाता है $f_X(x)$? और है$f_X(x)$ के अनुसार $y$ कानूनी भी?
समाधान बताता है $f_X(x)$ के अनुसार $x$, लेकिन अगर हम एकीकृत करते हैं $f_{X,Y}(x,y)$ के अनुसार $y$, हम कैसे प्राप्त कर सकते हैं $x$?
के लिए समाधान $f_{Y|X}(y|0.5)$भी अजीब है; क्या व्यक्तिगत बिंदु को शून्य पीडीएफ नहीं मिलता है क्योंकि एक बिंदु का कोई क्षेत्र नहीं है? तो यह कैसे संभव है के बारे में बात करते हैं$X=0.5$ पहले स्थान पर, अकेले को शून्य संभावना घटना को हर देने वाला होने दें?
जवाब
विचाराधीन अभिन्न निश्चित अभिन्न हैं, न कि प्रतिपक्षी। उदाहरण के लिए,
$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$
मान लीजिये
$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$
हम प्राप्त करते हैं, के लिए $0 < x < 1$,
\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}
और के लिए $1 < x < 2$,
\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}
दूसरों के लिए, हमारे पास है
$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$
तथा
$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$
ध्यान दें कि अंतिम के मूल्यांकन के लिए एक टुकड़े-टुकड़े निरंतर फ़ंक्शन के एकीकरण की आवश्यकता होती है।