सामान्यीकृत रद्दीकरण गुण एक समूह में एक मोनॉयड एम्बेड सुनिश्चित करता है

Question

संदर्भ: एक समूह के लिए एक मोनॉयड के लिए एक स्पष्ट आवश्यक शर्त (सबमोनॉइड के रूप में) बाएं और दाएं रद्द नियमों को संतुष्ट करना है: $$xy=xz \quad\Longrightarrow y=z;$$ $$yx=zx \quad\Longrightarrow y=z.$$यह एक आसान मानक निर्माण द्वारा, कम्यूटेटिव मोनॉयड के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, सामान्य तौर पर यह पर्याप्त नहीं है, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है कि एमओ ( इस प्रश्न और इस प्रश्न को देखें )। ऐसा पहला निर्माण मालसेव के कारण हुआ है। माल्सेव के प्रमाण (1936), जैसा कि आर। जॉनसन द्वारा इस 1969 के पत्र में वर्णित है ( अप्रतिबंधित पहुंच के साथ प्रोक AMS, लिंक ), जाँच में शामिल है कि एक समूह में, हमारे पास (सीधा) सामान्यीकरण "नियम" है:

$$ea=db,eb=fa,ec=fb \quad \Longrightarrow \quad eb=dc$$

मालसेव के परिणाम में एक निरस्त मोनोड का निर्माण होता है जिसमें यह नियम विफल हो जाता है (जो कम तुच्छ हिस्सा है, और यहाँ मेरी बात नहीं है)।

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उपरोक्त द्वारा प्रेरित, हम एक सामान्यीकृत निरस्तीकरण नियम को प्रपत्र के नियम के रूप में परिभाषित कर सकते हैं$$w_1=w'_1,\dots,w'_n=w'_n \quad \Longrightarrow \quad w_0=w'_0$$ कहां है $w_i,w'_i$कुछ गणनीय वर्णमाला में गैर-नकारात्मक शब्द हैं। एक मोनॉइड को इस सामान्यीकृत निरस्तीकरण नियम को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है यदि यह मोनॉइड तत्वों द्वारा पत्रों के प्रत्येक प्रतिस्थापन के लिए उपरोक्त निहितार्थ को संतुष्ट करता है।

लश्कर $\mathcal{G}$सभी समूहों द्वारा संतुष्ट किए जाने वाले सामान्यीकृत निरस्तीकरण नियमों का समूह हो ।

स्पष्ट रूप से एक मोनॉयड जो एक समूह में एम्बेड करता है, सभी नियमों को संतुष्ट करता है $\mathcal{G}$। कोई पहले कॉन्सेप्ट के बारे में पूछ सकता है: यदि एक मोनोड सभी नियमों को पूरा करता है$\mathcal{G}$, यह एक समूह में एम्बेड करता है?

जवाब वास्तव में एक तुच्छ हाँ है! वास्तव में, इस तरह के एक मठ से शुरू$M$, आवरण समूह को परिभाषित करें $i:M\to G_M$ स्पष्ट तरीके से (प्रस्तुतियाँ: जनरेटर = $M$, relators = monoid law)। फिर$i$ इंजेक्शन है: वास्तव में फार्म के हर संबंध $i(m)=i(m')$ कुछ सामान्यीकृत निरस्तीकरण नियम के रूप में व्याख्या की जा सकती है, और अंततः इसका अर्थ है $m=m'$।

एक औपचारिक स्तर पर यह इसलिए समूहों में एम्बेड किए जाने वाले मोनॉयड का एक लक्षण वर्णन प्रदान करता है। लेकिन यह निराशाजनक रूप से गैर-व्यावहारिक है। मेरा सवाल तब है:

क्या कोई परिमित सेट है$\mathcal{F}\subset\mathcal{G}$ सामान्यीकृत निरस्तीकरण नियम जैसे कि एक मोनोड एक समूह में एम्बेड करता है यदि यह सभी नियमों को संतुष्ट करता है $\mathcal{F}$?

Answer 1

जवाब न है। जिसे आप सामान्यीकृत रद्दीकरण नियम कहते हैं, उसे सार्वभौमिक बीजगणित में अर्ध-पहचान कहा जाता है। माल्सेव ने 1939 में साबित कर दिया कि समूह द्वारा बनाए गए समूह के मोनोडेड को परिभाषित करने वाले अर्ध-पहचान का कोई आधार नहीं है या समूहों द्वारा उत्पन्न मानवाधिकारों की अर्ध-विविधता को परिभाषित करना है।

आप Clifford और Preston के शास्त्रीय पाठ के बीजगणित 2 में विवरण पा सकते हैं। बीजगणित के बीजगणितीय सिद्धांत। माल्सेव ने एक अनंत आधार दिया और लैम्बेक ने एक और जो कि पॉलीहेड्रा के आधार पर एक ज्यामितीय अनुभव है। आप जो सटीक प्रमेय चाहते हैं वह क्लिफोर्ड और प्रेस्टन वॉल्यूम 2 ​​का प्रमेय 12.30 है।