समसामयिक हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन प्रश्न
मैं हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन पर आया हूं $$_2F_1\left(k+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2};\frac{3}{2},z\right)$$ कहाँ पे $k \geq 1$ एक पूर्णांक है, और मेरा मानना है कि यह बराबर है $$\frac{p(z)}{(1-z)^{(4k-1)/2}}$$ कहाँ पे $p$ डिग्री का बहुपद है $k-1$(वोल्फरामाल्फा पहले कुछ मूल्यों की पुष्टि करता है)। मुझे लगता है कि यह कुछ संबंधों से पालन करना चाहिए जिसमें सन्निहित अतिवृद्धि कार्य शामिल हैं, लेकिन मुझे नहीं पता कि कैसे, और एक अच्छा संदर्भ नहीं है (मेरी यूनीआई में पुस्तकालय COVID -19 के लिए बंद है)। मैं वास्तव में बहुपद में गुणांक के बारे में परवाह नहीं करता, क्योंकि मैं सिर्फ एक अभिन्न दिखाने के लिए कोशिश कर रहा हूँ परिमित है। क्या कोई मुझे सही रास्ते पर लाने में सक्षम है?
बहुत धन्यवाद, ग्रेग
जवाब
यह यूलर के परिवर्तन से आता है
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)\\=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)$$
आपके मामले में, हमारे पास है
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =(1-z)^{\frac 12-2k}{}_{2}F_{1}\left(1-k,1-k;\frac 32;z\right)$$
अब RHS में हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन को एक परिमित श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है $k$तत्वों। यह ग्रेड के बहुपद बनाता है$k-1$ओपी में नोट किया। सामान्य शक्ति श्रृंखला परिभाषा से, यह कम हो जाता है
$$\begin{aligned} &{k=1 \rightarrow 1}\\ &k=2 \rightarrow 1+ \frac{2z}{3}\\ &k=3 \rightarrow 1+\frac{8z}{3}+\frac{8z^2}{15}\\ &k=4 \rightarrow 1+6z+\frac{24z^2}{5}+\frac{16z^3}{35} \end{aligned} $$और इसी तरह। सामान्यीकरण, बहुपद है
$$p(z)=\sum_{n=0}^{k-1} \frac{[(1-k)_n]^2 }{(3/2)_n}\frac{z^n}{n!}$$
कहाँ पे $(z)_n$पोचमर के बढ़ते तथ्य के लिए प्रतीक है। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं
$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =\frac{p(z)}{(1-z)^{2k-\frac{1}{2}}}$$