समोच्च एकीकृत $\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}$

Aug 17 2020

मैं एकीकृत करना चाहूंगा $\int_0^{\infty}\frac{\csc(a x) \sin(a x m)}{\cosh(x) \exp(x)}\mathrm{d}x$ कहां है $m$ एक पूर्णांक है।

वहाँ वास्तविक दोनों विलक्षणता प्रतीत होती है $x = \frac{n\pi}{a}$ और काल्पनिक $x = \frac{\pi}{2 I} +I \pi n$

ऐसा लगता है कि समोच्च एकीकरण का रास्ता तय करना है।

अब मुझे यकीन नहीं है कि यहाँ से आगे कैसे बढ़ना है।

जवाब

1 metamorphy Aug 17 2020 at 13:26

के लिये $m>0$, $\displaystyle\frac{\sin axm}{\sin ax}=\sum_{k=0}^{m-1}\cos(m-1-2k)ax$, इसलिए दिए गए अभिन्न चीजों की तरह है $$\int_0^\infty\frac{\cos bx}{1+e^{ax}}\,dx=\frac{1}{2a}\left[f\left(\frac{ib}{a}\right)+f\left(-\frac{ib}{a}\right)\right]\tag{*}\label{mainint}$$ कहाँ, एक जटिल के लिए $z$ साथ से $\Re z>-1$, $$f(z)=\int_0^\infty\frac{e^{-zx}}{1+e^x}\,dx\underset{e^{-x}=t}{=}\int_0^1\frac{t^z\,dt}{1+t}=\int_0^1\frac{t^z-t^{z+1}}{1-t^2}\,dt\\\underset{t^2=x}{=}\frac12\int_0^1\frac{x^{(z-1)/2}-x^{z/2}}{1-x}\,dx=\frac12\left[\psi\left(1+\frac{z}{2}\right)-\psi\left(\frac{1+z}{2}\right)\right],$$ साथ से $\psi$digamma समारोह (अंतिम समानता है जैसे कि यह किया है दिखाया गया है यहाँ )। अगर हम कोसाइन के स्थान पर साइन करते थे$\eqref{mainint}$, को $\psi$प्रतिबिंब सूत्र के कारण कम हो जाएगा । कोसाइन के साथ, ये अंतिम परिणाम में भी नहीं होते हैं। यही कारण है कि मैं समोच्च एकीकरण के लिए उपयोगी कुछ भी उपज की उम्मीद नहीं है