संचय बिंदुओं की परिभाषा पर भ्रम
मैं पथरी के लिए कामकाज के पीछे एक बेहतर अंतर्ज्ञान प्राप्त करने के लिए दृश्यों और संचय बिंदुओं की सीमाओं के बारे में थोड़ा जानने की कोशिश कर रहा हूं और मैं अनुक्रमों और सेटों की सीमाओं, सीमा बिंदुओं और संचय बिंदुओं की परिभाषाओं पर भ्रमित हो गया।
मेरा पहला प्रश्न एक अनुक्रम की एक सीमा है जो संचय बिंदु के समान है और यह है कि सीमा बिंदु के समान ही मैं ऑनलाइन और इसके सभी बहुत अस्पष्ट देखा। मेरा दूसरा भ्रम यह है कि एक अनुक्रम की सीमा एक सेट की सीमा के समान है यदि नहीं तो कुछ प्रमाण या सहज स्पष्टीकरण क्यों नहीं है?
मुझे पता है कि यह शायद आप सभी के लिए एक बहुत ही सरल और संभवतः तुच्छ अवधारणा है, लेकिन इसने मुझे बहुत भ्रमित किया। अग्रिम में धन्यवाद
जवाब
एक सीमा बिंदु एक संचय बिंदु के समान है, और इसकी परिभाषा यह है कि:
एक बिंदु $x$ एक सीमा का एक बिंदु है $A$ अगर हर मोहल्ले के लिए $S$ का $x$ वहां मौजूद $y \in S$ ऐसा है कि $y \in A$, $y \neq x$।
मैं दृढ़ता से नाम "संचय बिंदु" पसंद करता हूं, क्योंकि आप वास्तव में यहां सीमा नहीं ले रहे हैं ... यह दूसरा तरीका है! सीमाएँ करने में सक्षम होने के लिए आपको आम तौर पर संचय बिंदुओं की आवश्यकता होती है, क्योंकि सीमा की स्थैतिक परिभाषा के लिए पड़ोस लेना और फ़ंक्शन की गणना करना आवश्यक है।
आपके दूसरे प्रश्न के बारे में:
एक बिंदु $x$एक अनुक्रम के लिए एक संचय बिंदु है $\{x_n\}$ अगर कोई पड़ोस $S$ का $x$ ऐसा है कि असीम रूप से कई सूचकांक हैं $n$ ऐसा है कि $x_n \in S$।
यह मूल रूप से ऊपर के रूप में एक ही परिभाषा है, लेकिन आप लेते हैं $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$। हालांकि, एक बिंदु एक अनुक्रम के लिए एक सीमा बिंदु है यदि एक निश्चित के बाद सभी सूचकांक$n$किसी भी पड़ोस में हैं। औपचारिक रूप से:
एक बिंदु $x$ एक अनुक्रम की सीमा है $\{x_n\}$ अगर कोई पड़ोस $S$ का $x$ ऐसा है जो मौजूद है $N \in \mathbb{N}$ ऐसा है कि $x_n \in S$ सभी के लिए $n>N$।
और यह केवल एक संचय बिंदु होने से अधिक मजबूत है: आप अनुक्रम पर विचार करके अंतर देख सकते हैं $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$। का कोई पड़ोस$1$ इस क्रम के असीम रूप से कई बिंदु शामिल हैं, अर्थात् सभी $x_{2n}$ एक निश्चित के बाद $n$। इसी तरह, के किसी भी पड़ोस$-1$ सभी शामिल होंगे $x_{2n+1}$ एक निश्चित के बाद $n$, तो दोनों $1$ तथा $-1$ के लिए क्लस्टर प्वाइंट हैं $x_n$। हालांकि, कोई सीमा नहीं है (वास्तव में सीमाएं अद्वितीय हैं, यदि वे मौजूद हैं)।
सीमा और सीमा बिंदु के बीच अंतर है। अवधारणा को अनुक्रमों और कार्यों के लिए परिभाषित किया गया है, लेकिन सीमा बिंदु को सेट के लिए परिभाषित किया गया है, जैसा कि ऊपर दिए गए उत्तर में बताया गया है। एक अनुक्रम में सीमा बिंदु हो सकता है लेकिन कोई सीमा नहीं है। उदाहरण के लिए बता दें$\{a_n\}$ परिभाषित किया जाता है $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ उस $a_n=1+\frac{1}{n} $ विषम n और के लिए $a_n=-1+\frac{1}{n} $के लिए। इसी क्रम में दोनों$1$ तथा $-1$ सीमा बिंदु हैं, लेकिन अनुक्रम अभिसरण नहीं है और कोई सीमा नहीं है।