सेमीडायरेक्ट ग्रुप और मेटासाइक्लिक ग्रुप
लश्कर $G$ तथा $H$ समूह बनें और $\theta : H \to Aut G$एक घरवाद। परिभाषित$G\times_{\theta}H$ का सेमीडायरेक्ट उत्पाद कहा जाता है $G$ तथा $H$।
लश्कर $C_{p}=\langle a\rangle$ तथा $C_{q}=\langle b\rangle$ प्राइम ऑर्डर के (गुणक) चक्रीय समूह $p$ तथा $q$ क्रमशः ऐसा $p > q$ तथा $q\mid p — 1$।
ए। नक्शा$\alpha:C_{p}\to C_{p}$ के द्वारा दिया गया $a^{i}\mapsto a^{si}$ एक आटोमोटिव है।
बी नक्शा$\theta:C_{q}\to Aut C_{q }$ के द्वारा दिया गया $\theta(b^{i}) =\alpha^{i}$ ($\alpha$ जैसा कि भाग (ए) में एक समरूपता है ($\alpha^{i} = I_{C_{p}})$।
सी। अगर हम लिखते हैं$a$ के लिये $(a,e)$ तथा $b$ के लिये $(e,b)$, फिर समूह $C_{p}\times_{\theta} C_{g}$ आदेश का एक समूह है $pq$, द्वारा उत्पन्न $a$ तथा $b$ संबंधों के अधीन: $|a|=p$, $|b| = q$, $ba = a^{s}b$, कहाँ पे $s\not\equiv 1 (\mod p)$, तथा $s^{q}\equiv 1 (\mod p)$। समूह$C_{p} \times_{\theta} C_{q}$ को मेटासाइक्लिक समूह कहा जाता है।
मैंने इसे हल करने की कोशिश की है , ए , तब से$C_{p}=\langle a \rangle=\lbrace a^{p}|\text{$पी$ is prime}\rbrace$, इसलिए कुछ के लिए $s\in \mathbb{Z}$, $(s,p)=1$,इस मामले में $\alpha^{s}$ का जनरेटर भी है $C_{p}$, अब कुछ के लिए $m\in \mathbb{Z}$ imples $s^{m}\equiv1(\mod p)$, नक्शा $\alpha:C_{p}\to C_{p}$एक ऑटोमोर्फिज्म को परिभाषित किया। परिकलित$\alpha^{m}(\alpha^{i})=\alpha^{m-1}(\alpha^{si}) \cdots =\alpha^{s^{m}i}=\alpha^{i}=e$।
के लिए ख , मैं उपयोग करने की कोशिश की प्रमेय \ textit {डैक}, लेकिन मैं नहीं कर रहा हूँ यकीन है कि
मैं जानना चाहता हूं कि इसे या किसी भी सुझाव को कैसे हल किया जाए, मैं सराहना करता हूं
जवाब
लश्कर $q | p-1$ तथा $C_p = \langle a \rangle$ तथा $C_q = \langle b \rangle$।
सेमीडायरेक्ट प्रोडक्ट के लिए $C_p \rtimes_\theta C_q$ हमें एक समूह समरूपता को परिभाषित करने की आवश्यकता होगी $\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$।
हमारे पास ऑर्डर का एक समूह होगा $pq$ तथा $C_p \lhd C_p \rtimes_\theta C_q$
प्रथम $\operatorname{Aut}(C_p)$
$\alpha : C_p \to C_p$
$\alpha(a^i) = a^{si}$
एक स्व-प्रतिरक्षीवाद होगा, जो कि एक समूह समरूपतावाद है $C_p$ सेवा $C_p$, यह एक समूह समरूपता है जो कि एक आक्षेप भी है।
हम यह दिखा सकते हैं कि यह एक समूह समरूपता है:
- $\alpha(a^i a^j) = a^{s(i+j)}$
- $\alpha(a^i)\alpha(a^j) = a^{si}a^{sj}$
और ये समान हैं इसलिए यह है
और यह एक आक्षेप होगा यदि गुणा करके $s$ इनवर्टेबल मॉड है $p$।
$\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$
$\theta(b^i) = \alpha^i$
हम यह दिखाएंगे कि यह एक समूह समरूपता है:
- $\theta(b^i b^j) = \alpha^{i+j}$ के लिए आवेदन $a^k$: $a^{s^{i+j} k}$।
- $\theta(b^i) \circ \theta(b^j) = \alpha^{i} \circ \alpha^{i}$ के लिए आवेदन $a^k$: $\alpha^{i}(a^{s^j k}) = a^{s^i s^j k}$
और ये समान हैं इसलिए यह एक मान्य समूह समरूपता है।
पर विस्तार से $s$:
से $\alpha$ उलटे होने के कारण हमें इसकी आवश्यकता होती है $s$ एक इकाई मॉड है $p$।
से $\theta$ से एक समूह समरूपता होने के नाते $C_q$ (अर्थात $\theta(b^q) = \theta(1)$) हमें इसकी आवश्यकता है $\alpha^q = 1$। तो हमें जरूरत है$s^q \equiv 1 \pmod p$।
अब हमारे पास हमेशा रहेगा $s^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ इसलिए हम एक आदिम जड़ ले सकते हैं $r$ और ध्यान दें $(s^{\frac{p-1}{q}})^q \equiv 1 \pmod p$ तो हम एक पाते हैं $s$ उठाकर $r$ सत्ता के लिए $(p-1)/q$।
सामान्य तौर पर सेमीडायरेक्ट उत्पाद में निम्नानुसार गुणा ऑपरेशन होता है ($b$ एक सामान्य तत्व है, जनरेटर के लिए नहीं $C_q$ केवल अगली पंक्ति के लिए):
$$(b,g)(c,h) = (b \theta(g)(c), gh)$$
तो हमारे मामले में
$$ba = (1,b)(a,1) = (\theta(b)(a),b) = (\alpha(a),b) = (a^{s}, b) = a^{s} b$$