सिद्ध है कि उत्पाद टोपोलॉजी में $\Bbb C^n$ सामान्य के बराबर है

Question

तो यह अच्छी तरह से पता है कि फ़ंक्शन $\tau_n:\Bbb C^n\times\Bbb C^n\rightarrow\Bbb C$ हालत से परिभाषित किया गया

1. $\tau_n(x,y):=\sum_{i=1}^n x_i\overline y_i$

किसी के लिए $x,y\in\Bbb C^n$एक आंतरिक उत्पाद है। इसलिए मैं यह साबित करने के लिए कहता हूं कि उत्पाद टोपोलॉजी पर$\Bbb C^n$ आंतरिक उत्पाद से प्रेरित है $\tau_1$ टोपोलॉजी के बराबर है $\tau _n$जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। मैं बताता हूं कि मुझे इस परिणाम की आवश्यकता है कि यह दिखाने के लिए कि दो टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के बीच रैखिक कार्य निरंतर हैं और इसलिए यह दिखाने के लिए कि एक परिमित आयामी टोपोलॉजिकल वेक्टर अंतरिक्ष में सभी टोपोलॉजी समतुल्य हैं और इस प्रकार मैं विनम्रतापूर्वक अनुरोध करता हूं कि जैसा कहा है वैसा न करें। जवाब दो। तो क्या कोई मेरी मदद कर सकता है, कृपया?

Answer 1

उत्पाद टोपोलॉजी आदर्श द्वारा उत्पन्न होता है

$$N_\infty(x)=\max(\vert x_1\vert, \dots \vert x_n\vert)$$ कहां है $\vert x \vert = \sqrt{\tau_1(x,x)}$। नकार कर

$$N_2(x) = \sqrt{\tau_n(x,x)}$$ अपने पास

$$1/\sqrt{n}N_\infty(x) \le N_2(x) \le \sqrt{n} N_\infty(x)$$ जो वांछित परिणाम के लिए निष्कर्ष निकालने में सक्षम बनाता है।