सिद्ध करो कि प्रधान $p$ केवल किया जा सकता हैं $13$ [डुप्लिकेट]
मान लीजिये $p$ एक प्रमुख ऐसा है कि दोनों $\frac{p-1}{4}$ तथा $\frac{p+1}{2}$ यह भी साबित कर रहे हैं $p=13$। मेरी कोशिश: चलो$p_1,p_2$ ऐसे ही रहो $$\frac{p-1}{4}=p_1$$ तथा $$\frac{p+1}{2}=p_2$$ तो हम प्राप्त करते हैं, $$p=4p_1+1=2p_2-1$$ अब अगर मैं संभोग के मूल्यों को रखना शुरू कर दूं तो मुझे मिल रहा है $p_1=3,p_2=7,p=13$एकमात्र प्रमुख ट्रिपल के रूप में। लेकिन क्या साबित करने का कोई औपचारिक तरीका है$13$ का एकमात्र मूल्य है $p$।
जवाब
आपके पास
$$\begin{equation}\begin{aligned} 4p_1 + 1 & = 2p_2 - 1 \\ 4p_1 & = 2p_2 - 2 \\ 2p_1 & = p_2 - 1 \\ p_2 & = 2p_1 + 1 \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$
साथ में $p_1$, इसके संभावित मूल्यों पर विचार करें $3$। अगर यह है$p_1 \equiv 1 \pmod{3}$, फिर $p_2 \equiv 0 \pmod{3}$, जिसकी अनुमति नहीं है $p_2 \gt 3$। वैकल्पिक रूप से, यदि$p_1 \equiv 2 \pmod{3}$, फिर $p_2 \equiv 2 \pmod{3}$ इसलिए $p = 2p_2 - 1 \implies p \equiv 0 \pmod{3}$। एकमात्र मामला जहां यह संभव हो सकता है, जहां है$p_2 = 2$ दे रही है $p = 3$, परन्तु फिर $p = 4p_1 + 1$पकड़ नहीं सकता। यह एकमात्र संभव मामला छोड़ देता है जहां$p_1$, $p_2$ तथा $p$ सभी प्रधान हैं $p_1 = 3$, जहां आपके एक मामले के लिए अग्रणी है $p = 13$।
मान लीजिए $p\equiv1\bmod3$, तो यह सत्यापित करना आसान है $\frac{p-1}4\equiv0\bmod3$, इसलिए $\frac{p-1}4=3$ तथा $p=13$।
मान लीजिए $p\equiv2\bmod3$, फिर इसी तरह के तर्क से $\frac{p+1}2\equiv0\bmod3$ तथा $p=7$, परन्तु फिर $\frac{p-1}4$ अभिन्न है।
जबसे $p>3$ द्वारा $\frac{p-1}4$ प्रधान हो रहा है, $p=13$।
स्पष्ट रूप से, $(p-1)/4\ne2,(p-1)/4\ge3\iff p\ge13$
तो अगर $(p-1)/4>3,$
भी $(p-1)/4=6k+1,k\ge1$
$(p+1)/2=12k+3=3(4k+1)$
या $(p-1)/4=6k-1,k\ge1,p=?$