सीमाओं की सटीक परिभाषा का तर्क?
मैं थॉमस से पथरी का अध्ययन करने वाला एक कॉलेज फ्रेशमैन हूं। अभी मैं सबूतों आदि में उपयोग करने के लिए एप्सिलॉन डेल्टा विधि का उपयोग करके सीमाओं की सटीक परिभाषा सीख रहा हूं।
मैं ध्यान देता हूं कि किसी फ़ंक्शन की सीमा साबित करते समय सीमा पहले दी जाती है और फिर एप्सिलॉन डेल्टा विधि का उपयोग किया जाता है। लेकिन क्या यह घोड़े के आगे गाड़ी लगाने जैसा नहीं है।
उदाहरण के लिए, मुझे x-> 1 पर 5x-3 की सीमा सिद्ध करने की आवश्यकता है। ऐसा लगता है कि निर्धारित आदेश सिर्फ बहुपद के लिए प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करें, 2 को सीमा के रूप में प्राप्त करें, फिर सीमा दिखाने के लिए एप्सिलॉन डेल्टा विधि का उपयोग करें वास्तव में 2 पर है। यह मुझे भ्रमित करता है क्योंकि सीमा एक अज्ञात नहीं होनी चाहिए 'पहले और एक प्रमाण का उपयोग सीमा को प्राप्त करने के लिए किया जाता है। 2. मुझे पहली जगह में कैसे पता चलेगा कि सीमा 2 का उपयोग शुरुआती बिंदु के रूप में किया जाना चाहिए? तार्किक क्रम मुझे पिछड़ा हुआ प्रतीत होता है।
जवाब
सीमा क्या होनी चाहिए, इसके लिए आपको सबसे पहले एक उपयुक्त उम्मीदवार / शिक्षित अनुमान की आवश्यकता है। फिर, उसके बाद ही, आप सटीक परिभाषा का उपयोग करके साबित कर सकते हैं कि आपका प्रारंभिक अनुमान वास्तव में मामला है। इसके अलावा, आप देख सकते हैं कि यह सबसे अच्छा है जो आप बस इस बात से कर सकते हैं कि सीमाओं की परिभाषा कैसे दी गई है:
परिभाषा।
लश्कर $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ एक समारोह हो, $a\in\Bbb{R}$। हम कहते है$f$ की सीमित सीमा होती है $a$ अगर मौजूद है $l\in \Bbb{R}$ हर के लिए ऐसा है $\epsilon>0$, वहां मौजूद $\delta>0$ ऐसे सभी के लिए $x\in\Bbb{R}$, अगर $0<|x-a|<\delta$ फिर $|f(x)-l|< \epsilon$।
(इस मामले में, हम यह साबित कर सकते हैं $l$ अद्वितीय है और हम इसे निरूपित करते हैं $\lim_{x\to a}f(x)$)
ध्यान दें कि परिभाषा "वहां मौजूद है" से कैसे शुरू होती है $l\in \Bbb{R} \dots$"जिस तरह से इसे वाक्यांशबद्ध किया गया है, उससे यह पता चलता है कि पहले भी जाँच की जा चुकी है $\epsilon,\delta$ मानदंड, आपको सीमा के लिए एक उम्मीदवार का मूल्य होना चाहिए $l$। कहीं भी परिभाषा आपको नहीं बताती है$l$ यह अनुमान लगाने के बारे में या कैसे जाना है (जैसे कि "अनुमान कार्य" कुछ ऐसा है जिसे आप और अधिक सीखते हैं)।
उदाहरण के लिए, यदि आपके पास दो कार्य हैं $f$ तथा $g$, साथ में $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l_1$ तथा $\lim\limits_{x\to a}g(x) = l_2$, तो यदि आप सभी करते हैं तो सीमाओं की परिभाषा को देखकर घूरते हैं, ऐसा कोई तरीका नहीं है जो आप बता सकें $f+g$ इसकी भी एक सीमा होती है और यह सीमा बराबर होती है $l_1+l_2$। केवल प्राकृतिक अनुमान होगा कि यदि$f+g$ एक सीमा थी, तो बेहतर था $l_1+l_2$।
फिर, एक बार जब आप यह अनुमान लगा लेते हैं, तो आप सटीक का उपयोग करके इसे साबित करने के लिए आगे बढ़ते हैं $\epsilon,\delta$ परिभाषा (जहाँ प्रमाण का मूल त्रिकोण असमानता है)।