स्पिवक की गणना: अध्याय 3 समस्या 24 बी
24 बी) मान लीजिए कि $f$ एक फ़ंक्शन ऐसा है जो प्रत्येक संख्या $b$ लिखा जा सकता है $b = f(a)$ कुछ वास्तविक संख्या के लिए $a$। साबित करें कि एक फ़ंक्शन है$g$ ऐसा है कि $f \circ g = I$
मुझे लगता है कि मैं इस सवाल को समझता हूं और इसे कैसे हल करना है, लेकिन मैं अपने समाधान को गणितीय रूप से कठोर तरीके से व्यक्त करने का तरीका ढूंढ रहा हूं, खासकर जब $f$इंजेक्शन नहीं है। यहाँ मेरा विचार है:
सबसे पहले, यदि $f$ इंजेक्शन है, तो यह तुच्छ है।
लश्कर $g(x) = a$, कहाँ पे $x = f(a)$ किसी के लिए $a \in \text{domain}(f)$
जबसे $f$ इंजेक्टिव है, परिभाषा के अनुसार इसका केवल एक मूल्य है $a$ वह संतुष्ट करता है $x = f(a)$ प्रत्येक के लिए $x$, जिसका मतलब है $g$अच्छी तरह से परिभाषित है। तथा$\text{domain}(g) = \text{image}(f)$ (परिभाषा के अनुसार $g$), जो प्रश्न में दमन से है $\mathbb{R}$। इसके अलावा,$\text{domain}(f) = \text{image}(g)$, जबसे $f$ तथा $g$इंजेक्टिव (लेकिन यह तथ्य महत्वपूर्ण नहीं है)। इसलिए$f(g(x))$ सभी के लिए परिभाषित किया गया है $x ∈ \mathbb{R}$। आखिरकार,$f(g(x))$ = = $f(a)$, कहाँ पे $x = f(a)$ के लिये $x ∈ \mathbb{R} \to f(g(x)) = I(x)$।
लेकिन अब अगर $f$इंजेक्शन नहीं है, यह अधिक जटिल हो जाता है। अगर मैं अपनी मूल परिभाषा रखता हूं$g$, होने "$g(x) = a$, कहाँ पे $x = f(a)$ किसी के लिए $a \in \text{domain}(f)$", फिर वह काम नहीं करता है क्योंकि $g$अब कोई फ़ंक्शन नहीं है। क्योंकि कब से$f$ इंजेक्शन नहीं है, कम से कम 2 नंबर मौजूद है $z$ तथा $w$ ऐसा है कि $z \neq w$ परंतु $f(z) = f(w)$, जिसका अर्थ है वहां मौजूद है $x$ ऐसा है कि: $g(x) = z = w$।
मुझे लगता है कि यह विचार बस फिर से परिभाषित करना है $g$ या तो "चुनने" के लिए $z$ या $w$, और इसे असाइन करें $x$। उदाहरण के लिए यह दो में से छोटा चुन सकता है। फर्क सिर्फ इतना है कि अब होगा$\text{domain}(f) \subset \text{image}(g)$, के बजाय $\text{domain}(f) = \text{image}(g)$। लेकिन चूंकि यह तथ्य पहले महत्वपूर्ण नहीं था, इसलिए प्रश्न में निष्कर्ष अभी भी मौजूद है।
यहाँ मेरा सवाल है। मैं स्पष्ट रूप से परिभाषा कैसे लिखूं$g$ "छोटा" चुनता है $z$ या $w$? इसके अलावा, याद रखें कि कम से कम 2 नंबर z और w मौजूद है। मनमाने ढंग से अधिक संख्या में ऐसा हो सकता है$f(z) = f(w) = f(m) = f(n)$और इसी तरह। और यह सिर्फ एक है मनमानी शाखाओं के सामान्य मूल्यों$f$कर सकता था। संख्याओं का एक अलग सेट हो सकता है$f(z_2) = f(w_2) = f(m_2)$ और इसी तरह, इसके बराबर नहीं हैं $f(z)$, आदि।
इससे बहुत गड़बड़ होने लगी है। मैं कैसे व्यक्त कर सकता हूं$g$ गणितीय रूप से?
जवाब
जिस पर आपने गौर किया, वह वास्तविक है, इसे ठीक करने के लिए किया गया है! आपको जो दिखाने के लिए कहा जाता है वह मूल रूप से वास्तविक संख्याओं के लिए पसंद का स्वयंसिद्ध है । यह एक स्वयंसिद्ध है क्योंकि आप सेट सिद्धांत के अन्य स्वयंसिद्धों से (सामान्य संस्करण) साबित नहीं कर सकते हैं, भले ही यह एक तरह का समझदार हो।
तो आपके पास दो विकल्प हैं:
- आप इस तथ्य पर चमक सकते हैं कि आपकी परिभाषा में यह समस्या है और मूल रूप से कहते हैं: "ठीक है, बस कोई भी विकल्प चुनें, यहां देखने के लिए कुछ भी अजीब नहीं है।"
- आप पसंद के स्वयंसिद्ध आह्वान कर सकते हैं। यह कहता है (विकिपीडिया लेख से सीधे): किसी भी अनुक्रमित परिवार के लिए$(S_i)_{i\in I}$ गैर-खाली सेटों के (जहां) $I$ कुछ इंडेक्सिंग सेट है) एक परिवार है $(x_i)_{i\in I}$ ऐसा है कि $x_i \in S_i$ हर एक के लिए $i\in I$। मैं यह जानने के लिए आपको छोड़ देता हूं कि स्पिवाक के दावे को कैसे प्राप्त किया जाए। (वास्तव में, पसंद के स्वयंसिद्ध का मेरा पसंदीदा सूत्रीकरण मूल रूप से आपको साबित करना है, लेकिन संख्याओं तक सीमित नहीं है।)
मान लीजिए कि एक स्पष्ट विकल्प फ़ंक्शन मौजूद है $C :\mathcal P(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R}$।
लश्कर $A \subset \mathbb{R}$। परिभाषा से,$C(A) = r$ कुछ के लिए $r \in \mathbb{R}$।
ध्यान दें कि यदि $A \subset \mathbb{R}$, फिर स्पष्ट रूप से: $\{~~A \setminus C(A)~~\}$ $\subset \mathbb{R}$।
अब एक फंक्शन को परिभाषित करें $A_n : \mathcal P(\mathbb R) \to \mathcal P(\mathbb R)$ निम्नानुसार पुनरावृत्ति:
$A_1(A)$ = = $A$
$A_2(A)$ = = $A_1(~~A_1 \setminus \{C(A_1)\}~~)$
$A_3(A)$ = = $A_2(~~A_2 \setminus \{C(A_2)\}~~)$
आदि आदि।
औपचारिक रूप से:
$A_1(A)$ = = $A$
अगर $A = \emptyset$, फिर: $A_n(\emptyset) = \emptyset$
अगर $A \neq \emptyset$, फिर: $A_n(A)$ = = $A_{n-1}(~~A_{n-1} \setminus C(A_{n-1}~~)$ $~~~~\forall n \in \mathbb{N}, n > 1$
मूल रूप से मैं जो कर रहा हूं वह पसंद फ़ंक्शन को लागू कर रहा है $C$ सेवा $A$ एक विशिष्ट वास्तविक संख्या चुनने के लिए $r_1$ में $A$, फिर परिभाषित करना $A_2$ सेट होने के लिए {$A$ लापता $r_1$}, फिर आवेदन करना $C$ सेवा $A_2$ एक अलग वास्तविक संख्या चुनने के लिए $r_2$ में $A$, फिर परिभाषित करना $A_3$ सेट होने के लिए {$A$ लापता ($r_1$ तथा $r_2$)}, आदि आदि।
ठीक है अब एक और फ़ंक्शन को परिभाषित करें $Z:A \rightarrow \mathbb{N}$ मूल पसंद फ़ंक्शन का उपयोग करना $C$ और नया $A_n$ समारोह की तरह:
$Z(r)= \{n, ~where ~r=C(A_n)$
यह समारोह $Z$बहुत खास है। हर तत्व$r \in A$ के एक अद्वितीय मूल्य से मेल खाती है $Z(r)$। दूसरे शब्दों में,$Z$ वास्तविक संख्याओं के सबसेट के प्रत्येक तत्व को एक अद्वितीय प्राकृतिक संख्या में मैप करने में सक्षम है $n$।
मुझे लगता है कि कैंटर के पास इस बारे में कुछ कहने के लिए होगा ...
अगर $f$ एक गैर-इंजेक्शन समारोह है, $f$ के रूप में लिखा जा सकता है $f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \} + \{(x_{1+i},f_i),(x_{2+i},f_i)\cdots \} + \{((x_{1+2i},f_{2i}),(x_{2+2i},f_{2i})\cdots \} + \cdots$ कहाँ पे $(x_{a+bi} = x_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$ तथा $(f_{a+bi} = f_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$।
परिभाषित $\hat f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \}$
परिभाषित $A_n = \{(x_{1+ni},f_{ni}),(x_{2+ni},f_{ni}) \cdots \}$
$\therefore f= \hat f + \sum_{p=1}^Z A_p$, कहाँ पे $Z \in \mathbb{N}$ या $Z = \infty$
अब AoC का उपयोग कर: एक नए सेट का निर्माण करें $\hat A$ जिसमें बिल्कुल एक ऑर्डर की गई जोड़ी होती है $(x_{a+ni},f_{ni})$ हर एक से $A_n$।
परिभाषित $f_{\text{injective}} = \hat f + \hat A$
अंत में परिभाषित करें $g(x) = a$, कहाँ पे $(a,x) \in f_{\text{injective}}$