स्रोत की अधिक सामान्य परिभाषा और वेक्टर क्षेत्र के लिए एक सिंक
जहां तक मैं एक स्रोत की परिभाषा और एक सिंक बता सकता हूं क्रमशः विचलन ऑपरेटर के संदर्भ में दिया गया है।
यही कारण है कि, एक वेक्टर क्षेत्र दिया गया है $\vec{D}$, यह बिंदु में एक स्रोत है$P$ यदि इसका विचलन $\text{div}\vec{D}$ में pozitive है $P$या एक सिंक अगर यह नकारात्मक है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुंबकत्व में, कोई कहता है$\text{div}\vec{D} = \rho_v$ कहाँ पे $\rho_v$ मात्रा आवेश घनत्व और है $\vec{D}$ विद्युत प्रवाह घनत्व है।
लेकिन आइए बताते हैं $\vec{D}$ सकारात्मक बिंदु आवेश द्वारा दिया जाता है $q$ स्थित है $(0,0,0)$ जो क्षेत्र बनाता है
$$\vec{D} = \text{const} \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|^3}$$
कहाँ पे $\vec{R}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$।
इस मामले में, $\text{div}\vec{D}=0$ हर जगह, हालांकि मूल एक स्रोत का एक प्रकार है क्योंकि क्षेत्र वहां से "उभरता है" और चार्ज को घेरने वाले प्रत्येक सतह पर शुद्ध प्रवाह सकारात्मक है।
मेरा प्रश्न है: क्या स्रोत और सिंक की कोई अन्य परिभाषा है? संभवतः कुछ जो सामान्य से थोड़ा अधिक सामान्य हैं और उनमें कुछ विशेष मामले शामिल हैं जैसे कि मैंने आखिरी बार उल्लेख किया है?
जवाब
मुझे लगता है कि एक सहज सामान्यीकरण विचलन प्रमेय से आता है! अर्थात्, अगर हम जानते हैं कि एक वेक्टर क्षेत्र में किसी क्षेत्र में सकारात्मक विचलन होता है, तो उस क्षेत्र के चारों ओर किसी भी गेंद की सतह पर अभिन्न सकारात्मक होगा। यह आपके उदाहरण को शामिल करता है, क्योंकि इस तरह, हमें कभी भी विलक्षणता को देखने की आवश्यकता नहीं है$x = 0$, हम सिर्फ उस विलक्षणता के चारों ओर गेंदों को देखते हैं!
द्वारा निरूपित करें $B_r(p)$ त्रिज्या की खुली गेंद $r > 0$ चारों ओर $p$और द्वारा निरूपित करें $\partial B_r(p)$ इसकी सीमा सतह।
लश्कर $U \subset \mathbb{R}^n$ एक खुला सेट हो, और $p \in \mathbb{R}^n$ एक बिंदु इतना है कि वहाँ एक है $\epsilon > 0$ ताकि गोले $\partial B_r(p)$ में समाहित हैं $U$ सबके लिए $r < \epsilon$।
एक निरंतर वेक्टर क्षेत्र को देखते हुए $X : U \to \mathbb{R^n}$, हम कहते हैं कि एक बिंदु $p \in U$ है...
- ... एक स्रोत के लिए$X$ अगर वहाँ एक है $\epsilon > 0$ ताकि $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy > 0 \quad \forall r < \epsilon.$$
- ... एक सिंक के लिए$X$ अगर वहाँ एक है $\epsilon > 0$ ताकि $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy < 0 \quad \forall r < \epsilon$$
यदि आपके वेक्टर क्षेत्र को पूरे इंटीरियर में चिकना होने के लिए बढ़ाया जा सकता है $B_r(p)$ क्षेत्रों के $S_r(p)$, तब विचलन प्रमेय हमें बताता है
$$\oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy = \int_{B_r(p)} \text{div} X(y) \, dy,$$
और तब आपकी परिभाषा का अर्थ है यह एक, क्योंकि यदि $\text{div} X(p) > 0$ एक बिंदु में, फिर निरंतरता के तर्क से पूरी गेंद बनने वाली है $B_r(p)$ जिस पर $\text{div} X > 0$।
आप पाएंगे कि आपका उदाहरण इस परिभाषा के साथ पूरी तरह से फिट बैठता है और आप बहुत आसानी से शून्य के आसपास गेंदों पर अभिन्न गणना कर सकते हैं, और वे सभी सकारात्मक होने जा रहे हैं, भले ही आप बिंदु शून्य को कभी भी छू नहीं सकते।
मैं किसी भी पाठ्यपुस्तकों या तो का हवाला नहीं दे रहा हूँ, इसलिए सावधान रहना, यह एक उचित सामान्यीकरण पर मेरा अपना विचार है :)
EDIT: एक विकल्प विचलन की परिभाषा को बदलना है, लेकिन फिर भी बिंदुओं के आसपास गेंदों को एकीकृत करने के इस विचार का उपयोग करना, उदाहरण के लिए इस प्रश्न और उत्तर में देखें।
इस मामले में कि वेक्टर फ़ील्ड पूर्णांक है, आप बहुत अधिक सामयिक परिभाषा दे सकते हैं।
लश्कर $\vec{D}$ एक पूर्णांक वेक्टर क्षेत्र और हो $d$इसका प्रवाह। लश्कर$p$ ऐसा है कि $\vec{D}(p)=0$।
$p$ एक है $\textit{sink}$ अगर वहाँ एक खुला सेट मौजूद है $U$ युक्त $p$ ऐसा है कि $\overline{d(U)} \subset U$।
$p$ is a $\textit{source}$ iff there exists an open set $U$ containing $p$ such that $\overline{U} \subset {d(U)} $.