श्रृंखला का योग ज्ञात कीजिए $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} $ [डुप्लिकेट]

Question

श्रृंखला का योग ज्ञात कीजिए $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} $

$My \ attempt :$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} \\ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n-1)!} \\ = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{n!} $$ लेकिन मुझे नहीं पता कि यह मुझे कहीं ले जाएगा।

Answer 1

जबसे

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$$

हम पाने के लिए अंतर कर सकते हैं

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=e^x\implies \sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n}}{n!}=xe^x$$

फिर से अलग करना, हमें वह मिलता है

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2x^{n-1}}{n!}=xe^x+e^x=(1+x)e^x$$

में प्लगिंग $x=1$, हमें वह मिलता है

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}=2e$$

Answer 2

$$S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n-1)+n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n=1)!} \right)$$ $$=\sum_{p=-1}^{\infty} \frac{1}{p!}+\sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!}=e+e=2e$$ ध्यान दें कि $(-1)!=\infty$।