स्थानीय रूप से उत्तल का अर्थ है उत्तल?
उत्तल सेट के बारे में एक सवाल है।
चलो $\Omega\subset\mathbb R^n$एक खुला, जुड़ा सेट हो। अगर किसी के लिए$x\in\overline{\Omega}$, एक पड़ोस है $U_x$ ऐसा है कि $\Omega\cap U_x$ उत्तल है, फिर $\Omega$ उत्तल है।
सहज रूप से, यदि $\Omega$ उत्तल नहीं है, इस पर एक बिंदु होना चाहिए $\partial\Omega$ ऐसा है कि $\Omega$स्थानीय रूप से उत्तल नहीं है। लेकिन मुझे नहीं पता कि इसे स्पष्ट रूप से कैसे लिखा जाए। आपकी मदद के लिए धन्यवाद।
जवाब
मैं इस पोस्ट में उत्तर से प्रमेय के प्रमाण का पालन करूंगा । उपर्युक्त पोस्ट में स्वीकृत उत्तर बहुत साफ है लेकिन अमूर्त कार्यात्मक विश्लेषण से कुछ विचारों पर निर्भर करता है ताकि मनमाने ढंग से स्थलाकृतिक वेक्टर रिक्त स्थान के परिणाम को सामान्य किया जा सके, जो व्यक्तिगत रूप से मुझे अच्छी तरह से निराशाजनक लगता है। मेरे पास मौजूद प्रमाण ठोस, कठिन विश्लेषण पक्ष पर अधिक है।
यह बंधे के लिए परिणाम दिखाने के लिए पर्याप्त है $\Omega$, चूँकि उत्तल जंजीरों को आरोही श्रृंखलाओं (बस अन्तर्विभाजक) के तहत बंद किया जाता है $\Omega$बढ़ती गेंदों की खुली गेंदों के साथ)। लेम्ब्स लीग द्वारा लेम्मा को कवर करके , वहां मौजूद है$\epsilon > 0$ हर के लिए ऐसा है $x \in \overline\Omega$, वहां मौजूद $y \in \overline\Omega$ ऐसा है कि $B_\epsilon (x) \subseteq U_y$, इसलिए विशेष रूप से $B_\epsilon (x) \cap \Omega$उत्तल है। दूसरे शब्दों में,$\Omega$है समान रूप से स्थानीय स्तर पर उत्तल।
स्मरण खुला जुड़ा हुआ तात्पर्य जुड़ा हुआ मार्ग और $\overline{\Omega \cap U_x}$ उत्तल है, इसलिए $\overline \Omega$पथ जुड़ा हुआ है ( यह सामान्य रूप से सच नहीं है! )। पथ लंबाई फ़ंक्शन, द्वारा दिया गया$$\text{length}(\gamma) = \sup_{\Pi} \sum_{i} |\gamma(t_i) - \gamma(t_{i + 1})|$$ जहाँ विभाजन के बाद सर्वोच्चता ले ली जाती है $\Pi$ जो भी हो एक सतत पथ का डोमेन $\gamma: [a, b] \to \overline \Omega$, निरंतर कार्यों के वर्चस्व के रूप में निम्न अर्धवृत्त है।
ठीक कर $x, y \in \overline\Omega$, फिर Arzela-Ascoli और arclength पैराड्रिज़ेशन (cf. उदाहरण के लिए इस पोस्ट ) से बहस करते हुए , एक रास्ता मौजूद है$\gamma : [0, 1] \to \overline\Omega$ के बीच न्यूनतम लंबाई $x$ तथा $y$। हम दावा करते हैं कि$\gamma$ एक सीधी रेखा है, जो उत्तलता साबित होगी $\overline\Omega$ और इसलिए इसका इंटीरियर $\Omega$।
एकरूप निरंतरता के द्वारा, हम पा सकते हैं $n \in \mathbb N$ पर्याप्त रूप से ऐसे बड़े $$ |\gamma(i/2^n) - \gamma((i + 1)/2^n)| < \epsilon $$ सबके लिए $i = 0, \dots, 2^n - 1$। संक्षिप्तता के लिए, निरूपित करें$a_i = \gamma(i/2^n)$। हमारे पास है$a_i \in \overline\Omega$ तथा $a_{i - 1} , a_{i + 1} \in B_\epsilon (a_i)$। जबसे$\overline \Omega \cap B_\epsilon (a_i)$ उत्तल है (उत्तल सेट को बंद करने के तहत दिखाने के सामान्य प्रमाण का पालन करें), बीच में एक रेखा मौजूद है $a_{i - 1}, a_{i + 1}$ में है $\overline \Omega \cap B_\epsilon (a_i)$, इसे कहते हैं $\Gamma_i$। लेकिन तब हम पैरामीरिज कर सकते हैं$$ \gamma([0, (i - 1)/2^n]) \cup \Gamma_i \cup \gamma([(i + 1)/2^n, 1]) $$ से एक मार्ग के रूप में $x$ सेवा मेरे $y$ में है $\overline\Omega$ जिसकी लंबाई है $$ \text{length} \ \gamma([0, (i - 1)/2^n]) + |a_{i + 1} - a_{i - 1}| + \text{length} \ \gamma([(i + 1)/2^n, 1]) \geq \text{length} (\gamma). $$ रियररिंग, $$ |a_{i + 1} - a_{i - 1}| \geq \text{length} \ \gamma([(i - 1)/2^n, (i + 1)/2^n]). $$ लेकिन निश्चित रूप से, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सीधी रेखाएं सबसे छोटी पथ हैं, इसलिए इसका अर्थ पथ का भाग है $\gamma([(i - 1)/2^n, (i + 1)/2^n])$सीधा है। प्रत्येक के लिए तर्क$i$ हमें बताता है $\gamma$ वास्तव में एक सीधी रेखा है, जो प्रमाण को पूरा करती है।
संपादित करें (मामूली तकनीकी): यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि एक सुधारा हुआ (यानी परिमित लंबाई) पथ किसी भी दो बिंदुओं के बीच मौजूद है, लेकिन यह प्रमाण के अंतिम भाग से एकसमान निरंतरता + स्थानीय उत्तलता तर्क से चलता है, जो मध्यस्थता पथ के लिए अनुमति देता है हमें टुकड़ों में रैखिक (अक्सर "बहुभुज") कहा जाता है$\overline\Omega$दो बिंदुओं के बीच, जिसमें स्पष्ट रूप से परिमित लंबाई होती है। इस निर्माण का अस्तित्व अक्सर जटिल विश्लेषण में उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है, और निश्चित रूप से इस परिदृश्य में।