स्थानीयकरण और विहित मानचित्र पर व्युत्पत्ति का संचार
यह समस्या वैन डेर पुट के "रैखिक विभेदक समीकरणों की गैल्विस थ्योरी" से है।
दिखाएँ कि एक अनोखी व्युत्पत्ति मौजूद है $\partial$ पर $RS^{-1}$ (का स्थानीयकरण $R$ इसके संबंध में $S$) ऐसा है कि के लिए विहित नक्शा $R \rightarrow RS^{-1}$ के साथ आवागमन करता है $\partial$ कहां है $R$ एक कम्यूटेटिव रिंग है और $S \subset R$ एक गुणक सबसेट है।
यहाँ इस समस्या में अवधारणाओं के बारे में मेरी समझ के साथ मेरा प्रयास है। चलो$\phi : R \rightarrow RS^{-1}$विहित मानचित्र हो। हम वह दिखाना चाहते हैं$\partial (\phi (x)) = \phi (\partial (x))$ के लिये $x \in R$। उस परिभाषा को ध्यान से देखें,$\phi (\partial (x))$ नक्शे $x \mapsto [\partial (x)],$ की समानता वर्ग $\partial (x)$ में है $RS^{-1}$(यह है कि विहित नक्शा कैसे काम करता है?)। दूसरी ओर,$\partial (\phi (x))$ नक्शे $x \mapsto \partial ([x]) = [\partial (x)],$ जो एक ही तुल्यता वर्ग है $RS^{-1}$ के रूप में मैप किया गया $\phi (\partial (x)).$ इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $\phi$ तथा $\partial$हंगामा करना। लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि कैसे दिखाया जाए कि एक अद्वितीय है$\partial$इस समस्या को संतुष्ट करता है। क्या कोई मदद कर सकता है?
एक स्पर्शरेखा पर: बहुपद की अंगूठी पर विचार करें $R[X_1, X_2, \dots ,X_n ]$ और एक गुणक सबसेट $S \subset R[X_1, X_2, \dots ,X_n ]$। चलो$a_1, a_2, \dots , a_n \in R[X_1, X_2, \dots ,X_n ]S^{-1}$दिया गया। सिद्ध है कि एक अनोखी व्युत्पत्ति मौजूद है$\partial $ पर $R[X_1, X_2, \dots X_n] S^{-1}$ ऐसा है कि विहित मानचित्र $R \rightarrow R[X_1, X_2, \dots ,X_n ] S^{-1}$ के साथ आवागमन करता है $\partial$ तथा $\partial (X_i) = a_i$ सबके लिए $i$। (धारणा है$\mathbb{Q} \subset R$ सब पर उपयोगी;)
जवाब
सबसे पहले, एक टिप्पणी: जब हमारे पास किसी अंगूठी की व्युत्पत्ति होती है $R$, यह आम तौर पर की व्युत्पत्ति है $R$ एक के रूप में $A$-कुछ निश्चित नक्शे के लिए बीजगणित $A\to R$, लेकिन आपके पास नहीं है $A$आपके अंकन में। (हमें इसकी भी आवश्यकता होगी$\partial(a) = 0$ सबके लिए $a\in A$।) यह एक जीवन के लिए खतरा नहीं है, हालांकि।
ऐसा लगता है कि आप दिखाना चाहते हैं कि एक अनोखी व्युत्पत्ति मौजूद है $\partial' : S^{-1}R\to S^{-1}R$ (मुझे लगता है) जो विहित स्थानीयकरण मानचित्र के साथ है $\phi$ और एक निश्चित व्युत्पत्ति $\partial : R\to R$। मैंने यह मूल व्युत्पत्ति नहीं देखी$\partial$बयान में; मुझे लगता है कि यह निश्चित रूप से तय है। इस सेट अप के साथ, आप यह साबित करना चाहते हैं$$\partial'\circ\phi = \phi\circ\partial.$$
यह लगभग वही है जो आपने लिखा है (मैं रखना चाहता हूं $\partial'$ तथा $\partial$भ्रम से बचने के लिए अलग)। हालाँकि, आपने व्युत्पत्ति को परिभाषित नहीं किया है$\partial'$ पर $S^{-1}R$! आपने एक तत्व के लिए दिखाया है$S^{-1}R$ की छवि में है $\phi$ (इसे कहते हैं $\phi(x)$) हमारे पास ये होना चाहिए $\partial'(\phi(x)) = \phi(\partial(x)).$ लेकिन करता क्या है $\partial'$ उन तत्वों को करें जो की छवि में नहीं हैं $\phi$? उदाहरण के लिए, यदि$s\in S\setminus R^\times,$ क्या है $\phi\left(\frac1s\right)$?
यह पता लगाने के लिए, चलो $\partial : R\to R$एक व्युत्पत्ति हो। लगता है कि$\partial' : S^{-1}R\to S^{-1}R$ एक व्युत्पत्ति है $S^{-1}R$ ऐसा है कि $\partial'\circ\phi = \phi\circ\partial.$ चलो $r/s\in S^{-1}R;$ हम गणना करना चाहते हैं $\partial'(r/s).$ खैर, हमारे पास है \begin{align*} \partial'(r/s) &= \partial'\left(r\cdot\frac{1}{s}\right)\\ &= r\partial'\left(\frac{1}{s}\right) + \partial'(r)\frac{1}{s}\\ &= r\partial'\left(\frac{1}{s}\right) + \frac{\partial(r)}{s}. \end{align*}
इसलिए, $\partial'$ इसके द्वारा निर्धारित किया जाता है $\partial$ और यह फार्म के तत्वों पर क्या करता है $\frac{1}{s}\in S^{-1}R.$ अब, हम ध्यान देते हैं $\partial'(1) = 0,$ जैसा $\partial'(1) = \partial'(1^2) = 2\partial'(1)$। इस प्रकार,\begin{align*} 0&= \partial'(1)\\ &=\partial'\left(s\cdot\frac{1}{s}\right)\\ &=s\partial'\left(\frac{1}{s}\right) + \frac{\partial(s)}{s}\\ \implies s\partial'\left(\frac{1}{s}\right) &= -\frac{\partial(s)}{s}\\ \implies \partial'\left(\frac{1}{s}\right) &= -\frac{\partial(s)}{s^2}, \end{align*} अगर हम भोलेपन से 1 के भागफल नियम को लागू करते हैं तो वास्तव में हमें क्या मिलेगा।
हमने जो दिखाया है, वह यह है कि अगर ऐसी व्युत्पत्ति हो$\partial'$ मौजूद है, यह सूत्र द्वारा दिया जाना चाहिए $$\partial'\left(\frac{r}{s}\right) = \frac{s\partial(r) - r\partial(s)}{s^2}.$$इस तरह की व्युत्पत्ति मौजूद होने पर यह विशिष्टता साबित होती है! अब, मैं इसे जांचने के लिए आपके पास छोड़ देता हूं$\partial'$ जैसा कि इस सूत्र द्वारा दिया गया है (ए) अच्छी तरह से परिभाषित है और (बी) एक व्युत्पत्ति है।
संपादित करें: मैंने मूल रूप से सोचा था कि प्रश्न का दूसरा भाग चाहता था $S\subseteq R.$
आपके दूसरे प्रश्न के लिए, विचार अनिवार्य रूप से समान है। आपको परिभाषित करने की आवश्यकता है$\partial'\left(\frac{f}{g}\right)$ किसी के लिए $f\in R[x_1,\dots, x_n]$ तथा $g\in S.$ ऊपर के रूप में, आप दिखा सकते हैं कि आपके पास होना चाहिए $$ \partial'\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{\partial'(f)g - f\partial'(g)}{g^2}, $$ तो आप बस क्या परिभाषित करने की जरूरत है $\partial'$ के तत्वों पर करता है $R[x_1,\dots, x_n].$
अब, ध्यान दें कि चूंकि किसी भी व्युत्पत्ति को रैखिक होना चाहिए, यह परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है $\partial'$ मोनोमियल पर $rx_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}.$ लाइबनिट्स नियम का अर्थ है कि हमारे पास है $$ \partial'(rx_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}) = \partial(r)x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n} + r\sum_{i = 1}^n x_1^{m_1}\cdots m_i x_i^{m_i - 1}\cdots x_n^{m_n}\partial(x_i) $$(आपको यह सत्यापित करना चाहिए अगर यह स्पष्ट नहीं है!)। अब, हम देखते हैं कि परिभाषित करने के लिए$\partial',$ यह परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है $\partial'(x_i)$ प्रत्येक के लिए $i.$ मैं उस सेटिंग को दिखाने के लिए इसे आपके पास छोड़ देता हूं $\partial'(x_i) = a_i$ कार्य करता है $\partial'$ एक व्युत्पत्ति (मान लेने की आवश्यकता नहीं है $\Bbb{Q}\subseteq R$) है।