$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b (x-[x]-\frac{1}{2})\phi '(x)\, dx+(a-[a]-\frac{1}{2})\phi (a)-(b-[b]-\frac{1}{2})\phi (b)$
टीकमर्श की द थ्योरी ऑफ़ रीमैन ज़ेटा-फंक्शन , पेज 13:
लश्कर $\phi (x)$ अंतराल में एक सतत व्युत्पन्न के साथ कोई भी कार्य करें $[a,b]$। तो अगर$[x]$ सबसे बड़ा पूर्णांक निरूपित करता है जो अधिक नहीं है $x$, $$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b \left(x-[x]-\frac{1}{2}\right)\phi '(x)\, dx+\left(a-[a]-\frac{1}{2}\right)\phi (a)-\left(b-[b]-\frac{1}{2}\right)\phi (b).$$
पुस्तक में इसका कोई प्रमाण नहीं है और मुझे नहीं पता कि इस प्रमेय का 'नाम' क्या है। मैं इस प्रमेय को समझना चाहता हूं लेकिन यह नहीं जानता कि कहां से शुरू किया जाए।
जवाब
लश्कर $\rho(t)=\frac12 -(t-[t])=\frac{1}{2} - \{t\}$, कहाँ पे $\{t\}$ का आंशिक हिस्सा है $t$।
सबूत के स्केच:
मैं आपके लिए विवरण छोड़ता हूं। यहाँ इस पहचान को अपनाने का एक तरीका है।
- सबसे पहले, ध्यान दें $\rho$ एक है $1$-ऑपरोडिक फंक्शन, और वह $\rho'(t)=-1$ के लिये $x\in [k,k-1)$, $k\in\mathbb{Z}$। के लिये$k\leq \alpha<b\leq k+1$, दो बार (एक बार साथ भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करें $u=f(t)$ तथा $dv=\rho'(t)\,dt$; और दूसरे के साथ$u=f'(t)$ तथा $dv=\sigma'(t)\,dt=\rho(t)\,dt$) लेना
$$ \begin{align} -\int^\beta_\alpha f(t)\,dt &= \int^\beta_\alpha f(t)\rho'(t)\,dt\\ &=\rho(\beta-)f(\beta)-\rho(\alpha)f(\alpha)-\int^\beta_\alpha \rho(t)\,f'(t)\,dt \end{align} $$
अब आप पूर्णांक अंतराल जोड़ सकते हैं $[k,k+1]\subset(a,b]$ और फिर संभावित आंशिक अंतराल पर $(a,[a]+1]$, $[[b],b]$ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए।
संपादित करें: भागों द्वारा एकीकरण द्वारा एक अधिक सामान्य और सुरुचिपूर्ण प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है:
लेम्मा: चलो$F$ तथा $G$ स्थानीय रूप से परिमित भिन्नता के सही-निरंतर कार्य हो सकते हैं $I$, और जाने $\mu_G$, $\mu_F$ द्वारा हस्ताक्षरित उपाय हैं $G$ तथा $F$क्रमशः। फिर, किसी भी कॉम्पैक्ट अंतराल के लिए$[a,b]\subset I$, $$ \begin{align} \int_{(a,b]} F(t)\,\mu_G(dt)=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{(a,b]}G(t-)\,\mu_F(dt) \end{align} $$ कहाँ पे $G(t-)=\lim_{s\nearrow t}G(s)$।
ओपी के लिए,
मतगणना के उपाय पर विचार करें $\mu(dt)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta_{n}$ और Lebesgue उपाय $\lambda$, दोनों ने परिभाषित किया $(\mathbb{R}\mathscr{B}(\mathbb{R}))$। लश्कर$\phi(dt)=(\lambda-\mu)(dt)$। नोटिस जो$\Phi(t):=\phi((0,t])=t-[t]=\{t\}$।
$$ \begin{align} \sum_{a< n\leq b}f(n)-\int^b_af(t)\,dt &=-\int^b_af(t)\,(\mu(dt)-\lambda(dt))=-\int^b_af(t)\phi(dt) \end{align} $$
लेम्मा को ऊपर से लगाना $f$ की जगह में $F$ तथा $\Phi$ की जगह में $G$, हमारे पास वह है $\mu_f(dt)=f'(t)\,dt$ तथा $\mu_{\Phi}(dt)=\phi(dt)$ इसलिए,
$$ \begin{align} \int^b_af(t)\phi(dt) &= f(t)\Phi(t)|^b_a -\int^b_a\Phi(t-)\, f'(t)\,dt\\ &=f(b)\{b\}-f(a)\{a\}-\int^b_a\Phi(t)\,f'(t)\,dt\\ &= f(b)(b-[b])-f(a)(a-[a)] -\int^b_a(t-[t])\,f'(t)\,dt \end{align} $$
जहां से परिवर्तन $\Phi(t-)$ सेवा $\Phi(t)$ इस तथ्य से कि $\Phi(t-)=\Phi(t)$ $\lambda$-जैसा
निष्कर्ष जोड़ने और घटाने के बाद होता है $\frac12$ अंतिम अभिन्न में।
यह हाबिल-सम्मिश्रण द्वारा है: $$\sum_{a<n\leq b} f(n) = f(b) \sum_{a<n\leq b} 1 - \int_a^b \sum_{a<n\leq t} 1 \cdot f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \left( \lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) - \int_a^b \left( \lfloor t \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \lfloor b \rfloor - f(a) \lfloor a \rfloor + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - t \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \left( a - \lfloor a \rfloor - \frac{1}{2} \right) - f(b) \left( b - \lfloor b \rfloor - \frac{1}{2} \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \, B_1\left( a - \lfloor a \rfloor \right) - f(b) \, B_1\left( b - \lfloor b \rfloor \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b B_1\left( t - \lfloor t \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \, ,$$ कहाँ पे $B_1(x)$पहला बर्नौली बहुपद है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है,$1/2$-अर्थात बेमानी हैं।
का उपयोग करके भागों द्वारा क्रमिक रूप से एकीकृत करके $\int B_n(x) \, {\rm d}x = \frac{B_{n+1}(x)}{n+1}$, यदि आप यूलर-मैकलॉरिन फार्मूला प्राप्त करेंगे $a,b$ पूर्णांक हैं।