टेंसर उत्पाद ढूँढना [डुप्लिकेट]

Question

चलो $\Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Z}:= M$

है $ M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \cong \Pi_{n\in \mathbb{N}}\mathbb{Q}$? मेरा मानना ​​है कि यह सच है लेकिन मुझे नहीं पता कि यह कैसे साबित किया जाए।

कृपया मुझे एक विचार / संकेत के साथ मदद करें।

अग्रिम में धन्यवाद।

Answer 1

यह गलत है। एक प्राकृतिक मानचित्र है

$$\left( \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Z} \right) \otimes \mathbb{Q} \to \prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$$

जो इंजेक्शन है, लेकिन विशेषण नहीं है। इसकी छवि के उप-भाग में है$\prod_{\mathbb{N}} \mathbb{Q}$ उन क्रमों से मिलकर जिनके हर को बाउंड किया जाता है, या समतुल्य रूप से जो एक सामान्य हर के तहत रखा जा सकता है (मूल रूप से क्योंकि टेनिंग से $\mathbb{Q}$ केवल आपको कुछ सामान्य भाजक द्वारा संपूर्ण पूर्णांक अनुक्रम को विभाजित करने की अनुमति देता है) और इसलिए उदाहरण के लिए, अनुक्रम शामिल नहीं है $n \mapsto \frac{1}{n}$।

(दूसरी ओर ये समूह अमूर्त रूप से आइसोमॉर्फिक हैं क्योंकि वे दोनों वेक्टर स्थान हैं $\mathbb{Q}$निरंतरता का आयाम। यह गणित देखें। उत्तर जो मूल रूप से एक ही बात कहता है।)

सामान्य तौर पर, टेंसर उत्पाद केवल परिमित उत्पादों को संरक्षित करने की गारंटी है। आप दिखा सकते हैं कि एक मॉड्यूल के साथ टेंसिंग अनंत उत्पादों को संरक्षित करता है यदि यह सूक्ष्मता से प्रस्तुत किया जाता है (जो$\mathbb{Q}$नहीं है); यह गणित देखें । उत्तर दें ।