ठीक उलटा अगर और केवल अगर पर
मैं निम्नलिखित परिणाम को साबित करने की कोशिश कर रहा हूं।
साबित करो $f: X \to Y$पर है और केवल अगर यह एक सही उलटा के पास है। फिर साबित करें कि यह उलटा जरूरी नहीं है अद्वितीय (यानी, जब$f$ इंजेक्शन नहीं है)।
यहाँ मैं क्या कर रहा हूँ, हालांकि, विशेष रूप से, विशिष्टता की कमी का मेरा "प्रमाण" बहुत कठोर नहीं है।
प्रमाण। मान लीजिए$f: X \to Y$विशेषण है। लश्कर$y \in Y$, इसलिए वहां मौजूद है $x \in X$ ऐसा है कि $f(x) = y$। हालांकि यह$x$ अद्वितीय नहीं हो सकता है, हम मानचित्रण को परिभाषित करते हैं $g: Y \to X$ नियम से $g(y) = x$, विकल्प का Axiom का उपयोग कर। ऐसे किसी के लिए$y$ उस संपत्ति के साथ $g(y) = x$, हमारे पास है: $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ इसलिए $f \circ g = i_Y$, तथा $g$एक सही उलटा है। इसके विपरीत, मान लीजिए$f$ एक सही उलटा के पास, $g: Y \to X$ उस संपत्ति के साथ $f \circ g = i_Y$। लश्कर$y \in Y$। फिर$g(y) = x$ कुछ के लिए $x \in X$। फिर, हम उसका निरीक्षण करते हैं$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ इसलिए $f$विशेषण है। यह सही विलोम अद्वितीय नहीं है क्योंकि हमें परिभाषित करने के लिए Axiom of Choice को आमंत्रित करना आवश्यक था$g(y) = x$ कुछ के लिए $x$। मामले में जहां$f$ इंजेक्शन नहीं दिया जाता है, कोई भी दिया जाता है $y \in Y $, संभावित रूप से कई असीम हैं $x$ ऐसा है कि $f(x) = y$, और हम परिभाषित कर सकते हैं $g(y)$ उनमें से किसी भी एक्स के बराबर होने के लिए, जिनमें से प्रत्येक समान रूप से वैध सही व्युत्क्रम देगा।
यह प्रमाण कैसे दिखता है? क्या यह पसंद का उपयुक्त उपयोग है? क्या विशिष्टता की कमी के प्रमाण को अधिक कठोर बनाने का एक तरीका है?
अग्रिम में धन्यवाद।
जवाब
आपका और केवल अगर सबूत मुझे बहुत अच्छा लगता है। हालाँकि आपका गैर-विशिष्टता प्रमाण थोड़ा भड़कीला है।
गैर-विशिष्टता साबित करने के लिए इसे एक उदाहरण द्वारा दिखाना पर्याप्त (और लगभग हमेशा आसान) है। आप किसी भी उदाहरण को पका सकते हैं, लेकिन यहां पहला है जो मेरे सिर पर आया है।
मान लो कि $X=\mathbb{R}^2$ तथा $Y=\mathbb{R}$ साथ में $f:X\to Y$ किया जा रहा है $f(x,y)=x$। स्पष्ट रूप से यह फ़ंक्शन चालू है। अब निम्नलिखित मानचित्र को परिभाषित करें$S_1:Y\to X$ द्वारा $S_1(x)=(x,0)$। यह आपको समझाने के लिए ज्यादा समय नहीं लेना चाहिए$f(S_1(x))=i_Y$।
नक्शे के अलावा $S_2:Y\to X$ द्वारा परिभाषित $S_2(x)=(x,x)$ भी देंगे $S_2(f(x))=i_Y$। परंतु$S_1\neq S_2$ इसलिए हमने दिखाया है कि वांछित परिणाम उत्पन्न करने वाले दो कार्य हैं जो समान नहीं हैं (और इसलिए व्युत्क्रम की आवश्यकता अद्वितीय नहीं है)।