उच्च क्रम सहसंयोजक व्युत्पन्न श्रृंखला नियम
लश्कर $(M,g)$रीमानियनियन हो। लश्कर$\nabla_v$ में covariant व्युत्पन्न हो $v$ सभी के लिए दिशा $v\in T_xM$, और के साथ निरूपित करें $\nabla^k h$ $(k,0)$-tensor क्षेत्र द्वारा स्थानीय निर्देशांक में परिभाषित किया गया है $$ \nabla^0h=dh,\quad(\nabla^kh)_{i_1,\dots,i_k}=(\nabla_{\partial_{i_1}}h)_{i_2,\dots,i_k}. $$ किसी भी सुचारू कार्य के लिए $h$।
मेरा सवाल है: क्या अंतर व्यक्त करने का एक अच्छा तरीका है $\nabla\nabla_udh-\nabla_u\nabla dh$?
भ्रम से बचने के लिए, मैं दी गई अभिव्यक्ति पर विचार कर रहा हूं $$ \nabla(\nabla_udh)(X,Y)-\nabla_u(\nabla dh)(X,Y)=\nabla_X(\underbrace{\nabla_udh}_{(1,0) -tensor\,field})(Y)-\nabla_u(\underbrace{\nabla dh}_{(2,0)-tensor\,field})(X,Y). $$यह किसी भी तरह से लागू रीमैनियन वक्रता टेंसर के समान दिखता है। मैंने अंतर विकसित करने की कोशिश की है, लेकिन मैं कुछ भी परिचित नहीं देख सकता। अधिक आम तौर पर (लेकिन शायद मैं बहुत ज्यादा पूछ रहा हूं), क्या लिखने का एक अच्छा तरीका है$$ \nabla^k\nabla_udh-\nabla_u\nabla^kdh=? $$
जवाब
लिखो $\nabla_u dh = c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)$, कहाँ पे $c^1_1$ संकुचन है, तो
\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) &= \nabla(c^1_1 ( u\otimes \nabla dh)) \\ &=c^1_1 \nabla (u\otimes \nabla dh) \\ &= c^1_1( \nabla u \otimes \nabla dh + u \otimes \nabla \nabla dh) \end{align}
विशेष रूप से, यह सभी के लिए इसका मतलब है $X, Y$और Ricci पहचान का उपयोग कर ,
\begin{align} \nabla (\nabla_u dh ) (X, Y) &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_X \nabla_u dh (Y)\\ &= (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ \nabla_u \nabla_X dh (Y) + R(u, X)dh (Y) \end{align}
इस प्रकार
$$\big( \nabla (\nabla_u dh ) - \nabla_u \nabla dh \big)(X, Y) = (\nabla_{\nabla_X u} dh) (Y)+ R(u, X)dh (Y).$$
इसलिए अपेक्षा के अनुसार वक्रता शब्द सामने आते हैं। हमारे पास भी है$\nabla u$। सामान्य तौर पर, गणना करते समय$$ \nabla^k \nabla_u dh- \nabla _u \nabla^k dh,$$ आपको अंतर करना होगा $u$ $k$-टाइम्स और रिक्की पहचान का उपयोग करें $k$-times। मुझे लगता है कि एक अच्छा फार्मूला नहीं होगा।