उन लोगों के घनत्व या विश्लेषणात्मक रूप से वितरण और रीमैन के विश्लेषणात्मक रूप से ज्ञात समाधान $\zeta(1/2 + r i)=0?$
हमें पता है कि रीमैन की परिकल्पना के बारे में अनुमान है कि nontrivial zeros चालू है $$(1/2 + r i)$$ कुछ के लिए $r \in \mathbb{R}$ रीमैन ज़ेटा फंक्शन का।
मेरा प्रश्न यह है कि घनत्व और विश्लेषणात्मक रूप से ज्ञात समाधानों के घनत्व और वितरण के बारे में कितना जाना जाता है$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$
मुझे एक संबंधित पोस्ट मिला, लेकिन यह लगभग 8 साल पहले था, इसलिए शायद हमारे पास एक बेहतर अपडेट है?
रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के नॉनट्रिवियल जीरो का औसत घनत्व
जवाब
मेरी विनम्र राय में, एक महत्वपूर्ण पेपर वर्ष में प्रकाशित एक है $2014$G.Franca और A.LeClair द्वारा । विशेष रूप से, वे एक बहुत अच्छा और सरल सन्निकटन (समीकरण) प्रदान करते हैं$(229)$ जुड़े हुए कागज में)। $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ कहां है $W(.)$ लाम्बर्ट फ़ंक्शन है;
के लिए उनकी कुछ गणना दोहरा रहे हैं $n=10^k$, अपने पास $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$
मैथमैटिका 8.0.1 ग्राम अंकों के लिए एरिक वीसेंस्टीन की व्युत्पत्ति:
(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)
9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394144873194,
35.467863110275089697, ...
संशोधित गणितज्ञ 8.0.1 एरिक वीसेंस्टीन के अनुमान की व्युत्पत्ति फ्रेंका-लेक्लेयर अंक देते हुए:
(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)
14.521346953065628168,
20.655740355699557203,
25.49267543226436433,
29.739411632309551244,
33.624531868500487851,
37.257370086972976394, ...
रीमैन ज़ेटा जीरो के लिए एक सटीक विषमता प्राप्त करने में मूल कठिनाई यह है कि रीमैन-सीगेल थीटा फ़ंक्शन उलटा नहीं है। उपयोगकर्ता पुनर्मिलन ने मुझे बताया कि फ्रेंच विकिपीडिया के अनुसार, रीमैन ज़ेटा शून्य के लिए सटीक असममितता लगभग 120 वर्षों से जानी जाती है और सटीक असममित, रीमैन-सीगेल थीटा फ़ंक्शन का कार्यात्मक व्युत्क्रम है।