उत्तल फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट अपने डोमेन के आंतरिक भाग पर निरंतर है
उत्तल, कम अर्धवृत्त और उचित कार्य को देखते हुए $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ जो अपने डोमेन पर अलग है, क्या यह सच है कि इसकी ढाल $\nabla f$ के डोमेन के इंटीरियर पर निरंतर है $f$? यहाँ मैं ले रहा हूँ$\text{dom}f = \{x\in\mathbb{R}^n: f(x)<\infty\}$। मैं इस तरह के एक समारोह के लिए आया था$f$, यह सच होना चाहिए $f$स्थानीय रूप से Lipschitz अपने डोमेन पर निरंतर है और उसके बाद Rademacher के प्रमेय द्वारा यह स्थानीय रूप से भिन्न है। हालाँकि मुझे वह नहीं मिलता, जो मैं चाहता हूँ। किसी के पास कोई सबूत या काउंटर उदाहरण है?
संपादित करें: यह रॉकफेलर और वेट्स में 9.20 कोरोलरी है, क्योंकि यह बाहर निकलता है।
जवाब
व्यापकता के नुकसान के बिना, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है $\nabla f$ निरंतर है $x = 0$ कब $\nabla f(0) = 0$। मान लीजिए$x_n \to 0$ इस प्रकार कि $|\nabla f(x_n)| > a > 0$। दिया हुआ$\epsilon>0$ ऐसा है कि $B(0,2\epsilon) \subset \text{dom}(f)$, उठाओ $n$ ताकि $x_n \in B(0,\epsilon)$ तथा $f(x_n) - f(0) > -\epsilon^2$। हम जानते हैं कि मौजूद है$y \in B(x_n,\epsilon)$, $y \ne x_n$, ऐसा है कि $$ f(y) \ge f(x_n) + a |x_n - y| $$ (वह है, चुनें $y$ की दिशा में $\nabla f(x_n)$ पास में $x_n$)। के लिये$t \in \mathbb R$, जाने दो $z_t = t(y-x_n) + x_n$। उत्तलता से, उस के लिए देखें$t \ge 1$ $$ \tfrac1t f(z_t) + (1-\tfrac{1}t) f(z_0) \ge f(z_1) ,$$ अर्थात् $$ f(z_t) \ge f(x_n) + a t |x_n-y| .$$ चुनें $t = \epsilon / |x_n - y|$। ध्यान दें कि$|z_t| < 2 \epsilon$। फिर$$ f(z_t) - f(0) = f(z_t) - f(x_n) + f(x_n) - f(0) \ge a \epsilon - \epsilon^2 . $$ यह विरोधाभास है कि $\nabla f(0) = 0$।
मैं इस पोस्ट को फॉलो-अप प्रश्न के साथ अपडेट कर रहा हूं: यदि $f$ एक उत्तल फ़ंक्शन है जो कुछ उत्तल सेट पर परिभाषित होता है $E\subseteq \mathbb R^n$ और अगर यह अलग है $E$, क्या यह सच है कि इसकी ढाल निरंतर होनी चाहिए $E$ (और न केवल इंटीरियर में)?