वह रैंक दिखाएं ( $A^{n+1}$) = रैंक ( $A^n$) [डुप्लिकेट]
मान लीजिए $A$ एक है $n \times n$ मैट्रिक्स यानी $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$, उस रैंक को साबित करें ($A^{n+1}$) = रैंक ($A^n$) का है। दूसरे शब्दों में, मुझे यह साबित करने की जरूरत है कि उनकी रेंज स्पेस या नल स्पेस बराबर हैं। यदि यह मदद करता है,$A$ एक विलक्षण मैट्रिक्स है।
ध्यान दें, मैं यह साबित करने के लिए जॉर्डन ब्लॉकों का उपयोग नहीं करना चाहता। क्या जॉर्डन फॉर्म का उपयोग किए बिना यह साबित करना संभव है? मैं शूर के त्रिकोणीयकरण प्रमेय का उपयोग कर सकता हूं। इसके अलावा, यह ज्ञात नहीं है कि क्या ए विकर्ण है।
जवाब
$\newcommand{\rg}{\operatorname{range}}$ जाहिर है हर के लिए $m$, $\rg A^{m+1}\subset\rg A^{m}$, तो यदि $d_m=\dim\rg A^m$, $d_{m+1}\le d_m$। अगर$d_{m+1}=d_m$ कुछ के लिए $m$, तब फिर $\rg A^{m+1}=\rg A^{m}$ और इसीलिए $\rg A^m=\rg A^{m+1}=\rg A^{m+2}=\dotsb{}$। वह है, क्रम$d_0,d_1,\dots$एक बार जब यह अवरोही हो जाता है तो स्थिर हो जाता है।
इसलिये$d_0= n$अनुक्रम के भीतर उतरना बंद करना होगा $n$ शर्तें।
संपादित करें: समस्या के लिए आपने टिप्पणी में, $\rg A^{m+1}=\{AA^{m}y:y\in \mathbb C^n\}=\{Ax:x=A^my\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^m\}$,
इसलिए$\rg A^{m}=\rg A^{m+1}\implies$
$\rg A^{m+1}=\{Ax:x\in\rg A^m\}=\{Ax:x\in\rg A^{m+1}\}=\rg A^{m+2}$।
संकेत
आप इसके लिए साबित कर सकते हैं $k \ge 0$ $$\mathrm{rank}(A^{k+2}) - \mathrm{rank}(A^{k+1}) \le \mathrm{rank}(A^{k+1}) - \mathrm{rank}(A^{k})$$
इसलिए, $$\mathrm{rank}(A^{n+1}) < \mathrm{rank}(A^{n})$$ विरोधाभास का मतलब होगा $\mathrm{rank}(A) \gt n$।
सब निर्भर करता है $n$। तो यह n पर पूर्ण प्रेरण के लिए एक अच्छा मामला है।
n = 1: A = एक वास्तविक या जटिल और नॉनज़रो। $Rank(A)=1=Rank(A^{n=1})=n=1=rank(a^2)=rank(A^2)=rank(A^{n+1})$
के लिये $n$ स्वाभाविक रूप से पाखंड है $true$।
के लिये $n+1$ केस में एक पंक्ति या कॉलम में बदलाव $n$। यह पंक्ति या स्तंभ या तो हो सकता है लेकिन अन्य के लिए A बनाने पर रैखिक पर निर्भर नहीं है$n$। तात्पर्य स्तंभ या पंक्ति में कम से कम एक तत्व है, जो कि A के लिए जोड़े गए आयाम में बिल्कुल गैर-शून्य है$n$।
अब हम कुछ समान परिभाषाओं का उपयोग कर सकते हैं $rank$एक वर्ग मैट्रिक्स का। सामान्यता तक सीमित होने के साथ अतिरिक्त पंक्ति या स्तंभ में केवल एक गैर-अक्षीय तत्व होता है। यह निर्धारित विकास में उदाहरण के लिए एक कारक के रूप में कार्य करता है या के लिए एक नया eigenvalue या मैट्रिक्स ए है$n+1$। इसलिए नियतांक गैर-कम से कम उस विकास में है क्योंकि हमारे पास एक गैर-मूल्य है और ज्ञान है कि हमारे ए के लिए निर्धारक$n$ नॉनवेज है और $rank(A)=n$।
इंडक्शन स्टेप के लिए मुख्य विचार मैट्रिस रैंक या रैंक कॉनसेर का रिंग है जो एक नॉनसिंगुलर मैट्रिक्स के गुणन से गुणा करता है$A$विशेष रूप से। नॉनजेरो के साथ मैट्रिसेस$rank$गुणन के तहत रैंक को सुरक्षित रखें। विचाराधीन गुणा सराहनीय है क्योंकि हम केवल ए को गुणा करते हैं। यह हमारी परिकल्पना के लिए एक और संकेतक है$n+1$। Eigenvalues और Schur अपघटन निकटता से संबंधित हैं। शूर अपघटन में मेट्रिसेस में से एक ऊपरी त्रिकोण मैट्रिस है। इसलिए से आयाम बढ़ रहा है$n$ सेवा मेरे $n+1$ बस एक और अंतिम जोड़ता है यदि अंतिम पंक्ति और स्तंभ एक नए वेक्टर में केवल नए आयाम में एक मान के साथ।
शूर अपघटन मैट्रिक्स के बराबर है $𝐴∈ℂ^{𝑛+1×𝑛+1}$ मैट्रिक्स पर निर्भर संपत्ति है $𝐴∈ℂ^{𝑛×𝑛}$। का मैट्रेस$rank$ एक समूह से और के संरक्षण में एक दूसरे में बदल सकते हैं $rank$। और सिद्ध किया जाता है।