वैक्टर के बीच कोण के रूप में सहसंबंध
मैं दो यादृच्छिक चर के बीच कोण के रूप में सहसंबंध की ज्यामितीय व्याख्या के बारे में थोड़ा भ्रमित हूं। मान लीजिए$X$ तथा $Y$ औसत के साथ दो चर हैं $0$ और राज्य की जगह $S=\{\omega_1, \omega_2,\omega_3\}$। फिर$$Var(X)=X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Var(Y)=Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3)$$ $$Cov(X,Y)=X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)$$ और सहसंबंध $$\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}=\frac{X(\omega_1)Y(\omega_1)\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)Y(\omega_2)\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)Y(\omega_3)\mathbb{P}(\omega_3)}{\sqrt{(X(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+X(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+X(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))(Y(\omega_1)^2\mathbb{P}(\omega_1)+Y(\omega_2)^2\mathbb{P}(\omega_2)+Y(\omega_3)^2\mathbb{P}(\omega_3))}}$$ जब तक मैं दो वैक्टरों को परिभाषित नहीं करता मैं यह नहीं देखता कि यह दो वैक्टरों के बीच का कोण है $$x=[X(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, X(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, X(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ $$y=[Y(\omega_1)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_1)}, Y(\omega_2)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_2)}, Y(\omega_3)\sqrt{\mathbb{P}(\omega_3)}]$$ मैं किस मामले में देखता हूं $$\rho_{X,Y}=\frac{<x,y>}{\sqrt{<x,x><y,y>}}=\cos\theta$$ कहाँ पे $\theta$ के बीच का कोण है $x$ तथा $y$। क्या यह व्याख्या करने का सही तरीका है (जैसा कि सहयोगी संभावना के वर्गमूल द्वारा भारित प्रत्येक राज्य के मूल्य के वेक्टर को परिभाषित करना है)?
जवाब
यह लगभग सही है। इस तरह की ज्यामितीय व्याख्या देने के लिए आपको ठीक उसी तरह आगे बढ़ना होगा जैसा आपने किया था और दो चीजों को परिभाषित किया था:
- वेक्टर के रूप में एक यादृच्छिक चर की व्याख्या कैसे की जाती है?
- स्केलर उत्पाद (या समतुल्य लंबाई और कोण) उन वैक्टर को कैसे परिभाषित किया जाता है?
1. के लिए व्याख्या वैक्टर के रूप में कार्यों की मानक व्याख्या है। यानी यादृच्छिक चर राज्य की जगह का नक्शा बनाते हैं$\mathbb{R}$इसलिए वे वैक्टर हैं जैसे कि हर दूसरे वास्तविक कार्य। आपके मामले में राज्य स्थान परिमित है इसलिए वेक्टर स्थान परिमित आयामी है। आप इससे पहचान सकते हैं$\mathbb{R}^3$जैसा आपने सुझाव दिया था, लेकिन आप संभावनाओं को शामिल नहीं करते हैं! यानी आपका रैंडम वैरिएबल$X$ सदिश से संबंधित है $(X(\omega_1), X(\omega_2), X(\omega_3)).$
संभावनाएं केवल 2 के लिए दर्ज होती हैं: निरीक्षण करें कि शून्य के उत्पाद की उम्मीद यादृच्छिक चर का मतलब है $\mathbb{E}[XY]$ एक स्केलर उत्पाद की सभी शर्तों को पूरा करता है यह बिलिनियर, सममित (स्पष्ट रूप से) और nondegenerate है $\mathbb{E}[X^2]=0 \implies X=0$ ऐ
तो आप बस परिभाषित करते हैं $<X,Y>=\mathbb{E}[XY]$ और कोणों को मापने के लिए तैयार हैं!