विभेदकों (आंशिक रूप से व्युत्पन्न नहीं) का उपयोग करके यह साबित करने के लिए कि d d / dx = -sin (𝜃) / r [डुप्लिकेट]
मैं उलझे मैट्रिक्स के प्रत्येक घटक के हिस्सों को संलग्न छवि में साबित करने की कोशिश कर रहा हूं। मैंने अंतर का उपयोग करने और फिर अन्य घटकों के लिए हल करने की कोशिश की है। (मैं इसे इस तरह से हल करना चाहूंगा)। उदाहरण के लिए हल करने की कोशिश कर रहा है,$\frac{d\theta}{dx}$ (उलटा मैट्रिक्स के नीचे बाईं ओर [नीचे संलग्न]) $$x = r cos(\theta)$$ -> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$फिर देख रहा है कि हम पकड़े हुए हैं $r = constant$, इस प्रकार $dr = 0$। मैं समझ गया$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$, जो करीब है। मैंने इसे एक आंशिक कैलकुलेटर में रखा और बनाया$\theta$ एक्स और आर के एक समारोह, $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$। लेना$\frac{\partial \theta}{\partial x}$मुझे x और y का कार्य होने के कारण सही उत्तर मिलता है। अगर मैं उपयोग करता हूं$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ और आंशिक रूप से मुझे वह मिलता है जो मैंने ऊपर कहा था ($\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$) का है। इसके अलावा, मैं डॉ में जगह की कोशिश की$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ का उपयोग करके $r^2=x^2+y^2$ के साथ डॉ की जगह $rdr = xdx + ydy$जहां मैंने डाई को स्थिर माना। जिससे मुझे गलत जवाब मिला। मैं अपनी तार्किक सोच में सुधार करना चाहता हूं, इसलिए मैंने जो भी किया है, उस पर कोई सलाह देना बहुत अच्छा होगा। धन्यवाद!
सारांश: मैं अंतर (भाग नहीं) का उपयोग करके साबित करने की कोशिश कर रहा हूं $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$
जवाब
मुद्दा यह है कि आप सिर्फ लिख नहीं सकते $\frac{d\theta}{dx}$। ऊष्मप्रवैगिकी में, एक धारणा है जो वास्तव में उपयोगी और महत्वपूर्ण है। वे यह दर्शाने के लिए एक उपप्रकार के साथ आंशिक व्युत्पत्ति लिखते हैं कि चर क्या हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास है$z=f(x,y)$ और हम व्युत्पन्न को खोजना चाहते हैं $f$ इसके संबंध में $x$, फिक्सिंग $y$, हम लिखते हैं $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ यह महत्वपूर्ण है क्योंकि हमारे पास बहुत सारे चर हो सकते हैं जो चारों ओर उड़ रहे हैं और यह जानना महत्वपूर्ण है कि चर क्या हैं।
आपके उदाहरण में, हम सोच सकते हैं $(x,y)$ के कार्यों के रूप में $(r,\theta)$। फिर अगर हम लिखेंगे$\partial x/\partial\theta$, यह आमतौर पर दर्शाता है $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$। जब आप ठीक करते हैं$r$, तो यह सच हो जाता है (क्योंकि हम अनिवार्य रूप से एक आयामी पथरी कर रहे हैं) $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ हालाँकि, आप गणना करने की कोशिश करके चीजों को गड़बड़ कर रहे हैं $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$, और ये दो बिल्कुल अलग जानवर हैं। आपको वास्तव में स्वतंत्र चर का ट्रैक रखने के बारे में सावधान रहना चाहिए । यदि आप उन को बदलते हैं, तो अधिक श्रृंखला नियम आता है।
बस दोहराने के लिए, आप तुलना करने की कोशिश कर रहे हैं \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}
वैसे, चेतावनी दी है। सामान्य तौर पर, हमारे पास नहीं है$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$। वास्तव में, जब से$x=r\cos\theta$, अपने पास $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ (जो है $-y$) का है। दूसरी ओर, चूंकि$\theta =\arctan(y/x)$ (कम से कम के लिए $-\pi/2<\theta<\pi/2$), अपने पास $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$, जो बहुत अलग है $-y$। यह आपका है$-\sin\theta/r$, बेशक। सही संबंध पूर्ण व्युत्पन्न मेट्रिसेस (जिसे जैकबियंस कहा जाता है) से होता है, जो कि व्युत्क्रम होते हैं$2\times 2$ मेट्रिसेस।
आप यह सब सही ढंग से अंतर (अंतर रूपों, वास्तव में) के साथ कर सकते हैं, लेकिन आपको अभी भी इस बात का ध्यान रखना होगा कि स्वतंत्र चर कौन हैं। और आपको वास्तव में चीजों को लिखना बंद कर देना चाहिए$d\theta/dx$ जब तक $\theta$वास्तव में केवल एक चर का एक कार्य है$x$। अपना पहला सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको लिखना होगा$d\theta$ सिर्फ के संदर्भ में $dx$ तथा $dr$; दूसरा लिखने के लिए आपको लिखना होगा$d\theta$ हमेशा की तरह $dx$ तथा $dy$। यह क्या स्वतंत्र चर का सवाल है रों हैं।