विहित परिमाणीकरण के पीछे "गुप्त" क्या है?
जिस तरह से (और शायद दुनिया भर में अधिकांश छात्र) मुझे सिखाया गया था कि क्यूएम बहुत अजीब है। कोई सहज स्पष्टीकरण या समझ नहीं है। इसके बजाय हमें एक शास्त्रीय सिद्धांत को निर्धारित करने के तरीके के बारे में एक नुस्खा दिया गया था, जो ऑपरेटरों को सभी मात्रा में बदलने के नियम पर आधारित है, और यह कि पॉइसन ब्रैकेट एक कम्यूटेटर में बदल जाता है।
मेरे लिए ऐसा लगता है कि एक बड़ा रहस्य बना हुआ है, मेरे लिए यह मानना मुश्किल है कि यही वह तरीका है जिससे हमारी दुनिया आगे के सहज ज्ञान युक्त व्यवहार के बिना व्यवहार करती है। लेकिन कुछ वर्षों की खोज से भी मदद नहीं मिली, मुझे कुछ नहीं मिला। किसी को कुछ पता है क्या? मैं "क्यूएम को समझने" के बारे में बात नहीं कर रहा हूं, मैं चाहता हूं कि एक छोटा सा सुराग है जो मुझे इस विहित परिमाणीकरण प्रक्रिया को समझने के लिए एक कदम गहरा होगा।
जवाब
वास्तव में,
कैनोनिकल परिमाणीकरण तभी काम करता है जब यह काम करता है ।
मेरे विचार में यह सोचना गलत और खतरनाक है कि यह क्वांटम सिद्धांतों के निर्माण का तरीका है, भले ही यह कभी-कभी काम करता हो: इसने हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के सैद्धांतिक स्पष्टीकरण के रूप में आश्चर्यजनक परिणाम उत्पन्न किए।
हालाँकि, सभी दुनिया क्वांटम है और शास्त्रीय भौतिकी एक अनुमान है: परिमाणीकरण प्रक्रियाएँ गलत दिशा में जाती हैं! वास्तव में इस तरह की प्रक्रियाओं की एक भोली वैधता के खिलाफ कई नो-गो परिणाम हैं, जिन्हें कुल मिलाकर ग्रोएनोल्ड -वैन होवे के प्रमेय के रूप में जाना जाता है ।
हालाँकि, यह सवाल बना हुआ है: पोइसन कोष्ठक और कम्यूटेटर के बीच अजीब संबंध क्यों है?
वास्तव में, यह संबंध भोले परिमाणीकरण प्रक्रियाओं को प्रेरित करता है।
मेरे विचार में, सबसे गहरा उत्तर शास्त्रीय और क्वांटम सिद्धांत के साथ कुछ समरूपता समूहों के अस्तित्व पर निर्भर करता है ।
ये समूह $G$परिवर्तनों के झूठ समूह हैं और इसलिए उन्हें उनके तथाकथित अलजेब्रा द्वारा विशेषता दी जाती है $\mathfrak{g}$, जो वैक्टर स्पेस कम्यूटेटर संरचना से लैस हैं $[a,b] \in \mathfrak{g}$ अगर $a,b\in \mathfrak{g}$। हम सोच सकते हैं$a\in \mathfrak{g}$ के एक पैरामीटर उपसमूह के जनरेटर के रूप में $G$ हमारे द्वारा निरूपित $\mathbb{R} \ni t \mapsto \exp(ta) \in G$। अगर$a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak{g}$ एक वेक्टर आधार बनाएं, इसे धारण करना चाहिए $$[a_i,a_j] = \sum_k C^k_{ij}a_k\tag{1}\:,$$ कुछ वास्तविक स्थिरांक के लिए $C_k^{ij}$। ये स्थिरांक (लगभग) पूरी तरह से निर्धारित करते हैं$G$। उदाहरण के लिए, यदि$G=SO(3)$ 3D घुमावों के समूह, एक-पैरामीटर उपसमूह निश्चित अक्षों के चारों ओर घूमते हैं और इसे चुनना हमेशा संभव होता है $C_k^{ij}= \epsilon_{ijk}$ (तथाकथित Ricci प्रतीक)।
शास्त्रीय भौतिकी में, कोई हैमिल्टन के निरूपण में सिद्धांत का प्रतिनिधित्व करता है । राज्य एक के बिंदु हैं$2n$ चिकनी आयामी कई गुना $F$निर्देशांक के पूर्वनिर्मित वर्गों के साथ, चरणों का स्थान कहा जाता है , द्वारा कहा गया विहित , निरूपित$q^1,\ldots, q^n, p_1,\ldots, p_n$।
अगर $G$ प्रणाली का एक समरूपता समूह है, फिर एक वफादार प्रतिनिधित्व है $G \ni g \mapsto \tau_g$ (विहित) परिवर्तनों के संदर्भ में इसका $\tau_g : F \to F$ जो परिवर्तन के अनुसार शास्त्रीय राज्यों को स्थानांतरित करते हैं $g$। प्रतिनिधित्व$G \ni g \mapsto \tau_g$ infinitesimal विहित परिवर्तन के संदर्भ में एक infinitesimal विवरण को मानता है $G$ इसके एल बीजगणित के संदर्भ में $\mathfrak{g}$। इस स्थिति में लीन बीजगणित की समरूपता चिकने कार्यों का एक रैखिक स्थान है,$A \in C^\infty(F, \mathbb{R})$ शास्त्रीय वेधशालाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, और पोशन ब्रैकेट $\{A,B\} \in C^\infty(F, \mathbb{R})$।
एक (वास्तव में केंद्रीय) isomorphism Lie बीजगणित के बीच होता है $(\mathfrak{g}, [\:,\:])$ और इसी तरह के बीजगणित $(C^\infty(F, \mathbb{R}), \{\:\:\})$भौतिक मात्रा से बना जहां कम्यूटेटर$\{\:\:\})$बस प्रसिद्ध पॉइसन ब्रैकेट है ।
अगर $a_k\in \mathfrak{g}$ से मेल खाती है $A_k\in C^\infty(F, \mathbb{R})$ और (1) के लिए मान्य है $G$, फिर $$\{A_i,A_j\} = \sum_k C^k_{ij}A_k + c_{ij}1 \tag{2}$$ जहां आगे स्थिरांक $c_{ij}$, केंद्रीय शुल्क कहा जाता है , प्रतिनिधित्व पर निर्भर करता है।$$a \mapsto A\tag{2'}$$ डिफ एल्जेब्रस का एक अनुमानित (केंद्रीय या केंद्रीय) समरूपता को परिभाषित करता है।
क्वांटम विवरण के पास होने पर, यदि $G$अभी भी समरूपता समूह एक समान गणितीय संरचना मौजूद है। यहाँ, (शुद्ध) राज्यों का स्थान एक जटिल हिल्बर्ट स्थान है $H$ और (शुद्ध) अवस्थाएं सामान्यीकृत वैक्टर हैं $\psi\in H$ चरणों तक।
अगर $G$ एक सममिति समूह है जिसमें एक (प्रक्षेप्य / केंद्रीय) एकात्मक प्रतिनिधित्व है $G \ni g \mapsto U_g$ एकात्मक ऑपरेटरों के संदर्भ में $U_g : H\to H$। के एक-पैरामीटर उपसमूह$G$ अब एकात्मक रूप के एकात्मक समूहों द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है (मैं व्यवस्थित रूप से एक कारक की उपेक्षा करूंगा $1/\hbar$ प्रतिपादक के सामने) $$\mathbb{R} \ni t \mapsto e^{-it \hat{A}}\:,$$ कहाँ पे $\hat{A}$ एक (विशिष्ट रूप से निर्धारित) सेल्फडॉइंट ऑपरेटर है।
फिर, अगर (1) वैध है और $\hat{A}_k$ से मेल खाती है $a_k\in \mathfrak{g}$, हमारे पास वह है $$[-i\hat{A}_i,-i\hat{A}_j]= -i\sum_k C^k_{ij}\hat{A}_k -i c'_{ij}I \tag{3}$$ कहाँ पे $[\:,\:]$ऑपरेटरों की कम्यूटेटर है। दूसरे शब्दों में$$a \mapsto -i\hat{A} \tag{3'}$$ डिफ एल्जेब्रस के एक (अनुमानित) समरूपता को परिभाषित करता है।
मैं इस बात पर जोर देता हूं कि समरूपता (2 ') और (3') स्वतंत्र रूप से मौजूद हैं और वे सिर्फ इस धारणा के कारण हैं कि $G$ प्रणाली का एक समरूपता समूह और प्रतिनिधित्व सिद्धांत मशीनरी की प्रकृति है।
इन दो आइसोमप्रिफ़िज़्म का उपयोग करके, हम एक तीसरा आइसोमॉर्फिज़्म (मानकर) बना सकते हैं $c_{ij}=c'_{ij}$) जो शास्त्रीय और क्वांटम दायरे के बीच अंतर करता है।
इस तरह, यदि $A \in C^\infty(F, \mathbb{R})$ से मेल खाती है $\hat{A} : H \to H$ (वास्तव में किसी को एक उपयुक्त घने डोमेन तक सीमित करना चाहिए), फिर $$\{A,B\} \quad \mbox{corresponds to} \quad i[\hat{A},\hat{B}]\tag{4}$$जब तुलना (2) और (3)। (मैंने फिर एक कारक की अनदेखी की$\hbar$ जब से मैंने ग्रहण किया है $\hbar=1$ एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों की घातीय अभिव्यक्ति में।)
अब यह स्पष्ट है कि (4) विहित परिमाणीकरण के पत्राचार सिद्धांत का कारण है जब समान समरूपता समूह शास्त्रीय और क्वांटम भौतिकी दोनों में मौजूद है।
गैर-सापेक्ष भौतिकी में, प्रासंगिक समरूपता समूह गैलीलियो समूह है । यह शास्त्रीय और गैर-सापेक्ष क्वांटम भौतिकी दोनों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
इसलिए हमारे पास शास्त्रीय हैमिल्टन और क्वांटम भौतिकी दोनों में इसके लेय बीजगणित का प्रतिनिधित्व (केंद्रीय) होना चाहिए।
उपरोक्त चर्चा पर भरोसा करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि गैलीलियो समूह के आइसोमोर्फिक शास्त्रीय और क्वांटम निरूपण से संबंधित आइसोमोर्फिज्म - जो शास्त्रीय संख्याओं को संबंधित संचालकों के साथ संबंध बनाते हुए संयुक्त संबंध को संरक्षित करता है - तथाकथित विहित मात्रात्मक प्रक्रिया शामिल
आइए इस तथ्य को विवरण में स्पष्ट करते हैं। द लाइ बीजगणित$\mathfrak{g}$ एक जनरेटर भी शामिल है $p$ शास्त्रीय हैमिल्टन सिद्धांत में, गति (अनुवाद के उपसमूह का जनरेटर) और एक अन्य जनरेटर का वर्णन करता है $k$ (शास्त्रीय बढ़ावा देने के उपसमूह के जनरेटर) स्थिति के द्रव्यमान के अनुरूप एक स्थिर तक की स्थिति के अनुरूप $m$।
आइए हम तीन स्तरों पर ध्यान दें।
ज्यामितीय $$[k,p]=0\:.$$ हैमिल्टन के निरूपण में, एक केंद्रीय शुल्क प्रदर्शित होता है $$\{k,p\}= m 1$$ ताकि, परिभाषित करना $x:= k/m$, हमारे पास है $$\{x,p\}= 1\:.$$ क्वांटम भौतिकी में, ऊपर चर्चा के मद्देनजर, हमें संबंधित जनरेटर / वेधशालाओं के लिए खोज करनी चाहिए $$[-i\hat{K},-i\hat{P}]= -im \hat{I}$$ इसलिए, परिभाषित करना $\hat{X}:= \frac{1}{m}\hat{K}$, $$[\hat{X},\hat{P}]= i \hat{I}$$
यह पत्राचार, जो कि कम्यूटेशन रिलेशन को संरक्षित करता है, को अगले कुछ वेधशालाओं से आगे बढ़ाया जा सकता है, जो लेज बीजगणित को वेधशालाओं के एक बड़े बीजगणित के रूप में वर्णित करता है । इसका निर्माण गैलीलियो समूह के लाइ बीजगणित से हुआ है। इसमें वेधशालाओं के उदाहरण बहुपद शामिल हैं।
सारांशित करना: शास्त्रीय और क्वांटम भौतिकी के साथ कुछ मौलिक समरूपता समूह हैं। ये समूह सिद्धांत का निर्माण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले निर्माण खंड हैं, क्योंकि वे संदर्भ धारणा के सिद्धांत और सापेक्षता सिद्धांत के रूप में बुनियादी भौतिक सिद्धांतों के रूप में मूल धारणाओं से गहराई से जुड़े हैं। इन समूहों का अस्तित्व शास्त्रीय और क्वांटम भौतिकी के बीच एक कड़ी बनाता है। यह लिंक उक्त समूह के कम्यूटेटर संरचना (प्रोजेक्टिव) अभ्यावेदन से होकर गुजरता है जो (प्रोजेक्टिव) समरूपता समूह के लेय बीजगणित के लिए समसामयिक है। परिमाणीकरण प्रक्रियाएं इस मूलभूत संबंध को दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, दोनों सिद्धांत असमान दिशाओं के साथ विकसित होते हैं और उदाहरण के लिए, क्वांटम सिद्धांत में, आगे की समरूपता समूह अपने शास्त्रीय इसी के साथ उत्पन्न होते हैं।
इसके बजाय, हमें एक नुस्खा दिया गया कि कैसे एक शास्त्रीय सिद्धांत को परिमाणित किया जाए, जो सभी परिचालकों के लिए सभी मात्राओं को बदलने के नियम पर आधारित है, और यह कि पोइसन ब्रैकेट एक कम्यूटेटर में बदल जाता है। मेरे लिए ऐसा लगता है कि एक बड़ा रहस्य बना हुआ है, मेरे लिए यह विश्वास करना कठिन है कि यही वह तरीका है, जिससे हमारी दुनिया आगे के सहज ज्ञान युक्त व्यवहारों के बिना व्यवहार करती है।
आपको इन व्यंजनों को दिया गया था क्योंकि वे पहले, हमारे ग्रह पर खोजे गए थे, और स्थिति का वर्णन आशा से करते हैं, और लोग इस तरह से भौतिक घटनाओं की भविष्यवाणियों को आसानी से समझ सकते हैं। आप और मैं स्कूल में और अधिकांश लोग, पहली बार में, वास्तव में दो अलग-अलग चीजों के बारे में शिकायत कर रहे हैं :
अजीब नई अवधारणाएं: संभावित भविष्यवाणियां, अनिश्चितता, हस्तक्षेप, असतत ऊर्जा स्पेक्ट्रा ...
हिल्बर्ट अंतरिक्ष निर्माण, रैखिक बीजगणित, तरंग कार्य, अजीब अंतर समीकरणों का वर्णन उन्हें, समाधान तकनीक, विरोधाभास, रैखिक बीजगणितीय स्टंट; जैसा कि आप रूपरेखा करते हैं, शास्त्रीय यांत्रिकी से शुरू होने वाला यह एक कठिन मार्ग है।
पहले के बारे में कहने के लिए बहुत कुछ नहीं: यह प्रकृति का एक तथ्य है, दुनिया इस तरह से व्यवहार करती है, सहज रूप से या नहीं, और, आश्चर्यजनक रूप से, यह एक सदी पहले हमारे क्षेत्र में बौद्धिक नायकों की एक धन्य पीढ़ी द्वारा पता लगाया गया था। दूसरा भाग, पहले के साथ मिलकर विकसित किया गया है, हालांकि, यह अयोग्य नहीं है।
एक अन्य ग्रह पर, दूर-दूर तक, यह बहुत अलग हो सकता है, और एक वैकल्पिक औपचारिकता और पथ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है: चरण-अंतरिक्ष मात्रा का ठहराव , हिल्बर्ट अंतरिक्ष और कम्यूटेटर, ऑपरेटर, आदि ... यह "इस शास्त्रीय यांत्रिकी का विस्तार करता है" पॉइलोन ब्रैकेट्स को मॉयल ब्रैकेट्स में "सही" करके , जो अतिरिक्त जोड़ते हैं$\hbar$उन पर निर्भर टुकड़े, साहचर्य। (हमारे दुखी ग्रह पर, यह केवल 1940 के दशक में हिल्बर्ट अंतरिक्ष के निर्माण के दो दशक बाद खोजा गया था। निरूपण अभी भी तकनीकी रूप से मांग कर रहा है, इसलिए हिल्बर्ट अंतरिक्ष सूत्रीकरण अभी भी मुख्यधारा है, उचित रूप से, लेकिन क्रि-डे-कोइरियार के लिए ' आप आवाज ...)
इसलिए सभी प्रकार की सांस्कृतिक कठिनाइयाँ, जिनमें वेधशालाओं के लिए न्यूफ़ैंगल्ड ऑपरेटर शामिल हैं, और कम्यूटेटर कभी भी संस्कृति के झटके में शामिल नहीं होते हैं।
अंत में, निश्चित रूप से, बड़ा एनचीलाडा है। 1. यहां तक कि शास्त्रीय चरण-स्थान फ़ंक्शन वेधशाला गैर-संयमता का प्रदर्शन करते हैं, क्योंकि वे आमतौर पर एक विशेष स्टार-उत्पाद ऑपरेशन द्वारा निर्मित होते हैं, और संभाव्यता प्रवाह और शिष्टाचार प्रवाह में मौलिक रूप से शास्त्रीय चरण-अंतरिक्ष प्रवाह के लिए अलग-अलग होते हैं। , और अनिश्चितता का सिद्धांत हिल्बर्ट-स्पेस फॉर्मूलेशन की तुलना में अधिक जादुई और आश्चर्यजनक है। लेकिन वो दूसरी कहानी है। बेशक, आप सभी उम्मीद करते हैं और अनुमान लगाते हैं कि वे वेधशालाओं के प्रत्याशा मान हैं। यह 1 का दिल है।
तो, क्या आप इस तरह से स्पष्ट रूप से मात्रा निर्धारित कर सकते हैं? बिलकूल नही। परिमाणीकरण एक रहस्य है । (Weyl, इस सूत्रीकरण के गॉडफादर, ने सोचा कि उसे 1927 में, इस मार्ग के साथ-साथ मात्रा का सही और एकमात्र तरीका मिल गया। गलत तरीके से।) कई शास्त्रीय प्रणालियों को लगातार मात्रा देने के कई अलग-अलग तरीके हैं, और कोई भी इससे बेहतर नहीं है। बाकी , लेकिन आपके द्वारा निर्दिष्ट विशिष्ट भौतिक प्रणाली पर निर्भर करता है। कुछ लोग एक रास्ता चुनते हैं, दूसरे लोग। (लेकिन वे सभी एक ही शास्त्रीय सीमा है।)
अंतर्ज्ञान कुछ ऐसा नहीं है जो एक उपहार के रूप में प्राप्त होता है - इसे अनुभव के माध्यम से विकसित करने की आवश्यकता है। जैसा कि यह पता चला है, क्वांटम यांत्रिकी शास्त्रीय भौतिकी से बहुत अलग है, इसलिए उत्तरार्द्ध के साथ आपका अनुभव पूर्व के लिए बहुत उपयोगी अंतर्ज्ञान में अनुवाद नहीं करता है।
शास्त्रीय यांत्रिकी के हैमिल्टनियन निरूपण में, एक प्रणाली की अवस्था को चरण स्थान में एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है, और अवलोकन योग्य मात्राओं के बारे में सोचा जा सकता है $\mathbb R$चरण अंतरिक्ष चर (जैसे स्थिति, गति, आदि) के निरंतर कार्य। स्टर्न-गेरलाच जैसे प्रयोगों ने प्रदर्शित किया कि यह परिप्रेक्ष्य अपर्याप्त है।
एसजी प्रयोग में, एक पाता है कि स्पिन कोणीय गति को देखने योग्य माना जाता है, ठीक दो संभावित माप परिणामों के साथ। शास्त्रीय चित्र में यह असंभव है - एक सतत फ़ंक्शन पूरे चरण स्थान को मैप नहीं कर सकता है$^\dagger$दो अलग-अलग संख्या में। इसके अलावा, एक अवलोकनीय की माप दूसरे के मापन को इस तरह प्रभावित कर सकती है, जिसका लेखा-जोखा शारीरिक वेधशालाओं के सरल कार्यों के रूप में नहीं किया जा सकता है।
इससे हम एक अलग मॉडल की तलाश करने के लिए बाध्य हैं। शास्त्रीय माप के परिणाम जुड़े अंतराल के रूप में लेते हैं$\mathbb R$। क्वांटम माप ऐसे परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन वे असतत मूल्यों (एसजी के अनुसार, परमाणु वर्णक्रमीय लाइनों की माप, आदि) और डिस्कनेक्ट किए गए अंतराल (जैसे ठोस में बैंड संरचना देखें) में परिणाम कर सकते हैं । इन संभावनाओं को कुछ हिल्बर्ट स्थान पर स्वयं-सहायक ऑपरेटरों के साथ मॉडलिंग वेधशालाओं के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, इसी ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम द्वारा दिए गए संभावित माप परिणामों के साथ । यह क्वांटम यांत्रिकी के मानक निरूपण द्वारा अपनाया गया POV है।
इस दृष्टिकोण को अपनाने के बाद, यह तय करने का कोई स्पष्ट तरीका नहीं है कि कौन से ऑपरेटर कौन से वेधशालाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। विहित परिमाणीकरण प्रक्रिया अंततः एक (शारीरिक रूप से प्रेरित) अनुमान है। डबल-स्लिट प्रयोग जैसे प्रयोग एक स्थानिक-भिन्न-भिन्न तरंग फ़ंक्शन के अस्तित्व का सुझाव देते हैं जो हस्तक्षेप प्रभावों को जन्म दे सकते हैं। इस तरंग समारोह की बोर्न व्याख्या एक स्थानिक संभाव्यता आयाम है$\psi$ ऐसा है कि $\int_a^b |\psi(x)|^2 dx$ अंतराल में झूठ बोलने के लिए एक कण को मापने की संभावना देता है $[a,b]$।
यहाँ से, हम स्थिति की क्रिया को अपेक्षाकृत स्वाभाविक रूप से परिभाषित कर सकते हैं - एक तरंग फ़ंक्शन पर इसकी क्रिया केवल गुणन द्वारा होती है $x$। यह संभावित स्थिति माप के सही स्पेक्ट्रम का उत्पादन करता है, और इसका "अपेक्षित मूल्य" केवल स्थानिक संभाव्यता वितरण का मतलब है।
संवेग संचालक की परिभाषा थोड़ी पेचीदा है, लेकिन इसे वेधशालाओं की बीजगणितीय संरचना की जांच करके प्रेरित किया जा सकता है जो शास्त्रीय हैमिल्टनियन यांत्रिकी में मौजूद है। गतिमान अवलोकन, स्थानिक अनुवादों का अपरिमेय जनरेटर है - क्वांटम सिद्धांत पर समान संरचना को लागू करने पर एक अंतर ऑपरेटर के संदर्भ में गति ऑपरेटर की परिभाषा प्राप्त होती है$\psi(x)$।
जैसा कि पहले कहा गया है, हालांकि, कैनोनिकल मात्रा का ठहराव (साथ ही किसी भी अन्य परिमाणीकरण प्रक्रिया) अंततः एक अनुमान है। एक प्रणाली के माप ब्याज की भौतिक वेधशालाओं की प्रकृति के अनुसार सुराग देते हैं, जो बदले में हिल्बर्ट स्थान का सुराग देते हैं जिस पर वे निर्मित होते हैं। हम फिर संबंधित मॉडल का निर्माण करते हैं, भविष्यवाणियां करते हैं, आगे के प्रयोगों से तुलना करते हैं, और मूल्यांकन करते हैं कि क्या हमारा मॉडल सटीक रूप से भविष्यवाणी करने के लिए पर्याप्त है कि सिस्टम कैसे व्यवहार करेगा।
$^\dagger$यह केवल तभी संभव होगा जब चरण की जगह को काट दिया जाएगा, जिसमें स्पिन कोणीय गति के विभिन्न संभावित मूल्यों के अनुरूप दो अलग-अलग टुकड़े होंगे। हालांकि, घूर्णी इनवेरियन इसे बाहर नियम देता है, और विभिन्न कुल्हाड़ियों के साथ स्पिन माप के गैर-कम्यूटेशन इस विचार के ताबूत में एक और कील प्रदान करता है।
यह बहुत अजीब है कि क्वांटम यांत्रिकी, जिसे अधिक मौलिक माना जाता है, का निर्माण शास्त्रीय सिद्धांत का उपयोग करके किया गया है। तर्क थोड़ा पीछे है, लेकिन एक अच्छा कारण है कि यह इस तरह से किया जाता है। विहित परिमाणीकरण यह सुनिश्चित करता है कि क्वांटम सिद्धांत उचित शास्त्रीय सीमा तक पहुंचता है।
क्वांटम यांत्रिकी का विशुद्ध रूप से क्वांटम तरीके से वर्णन करने के लिए कुछ प्रयास किए गए हैं, लेकिन यह हमेशा केवल राज्यों के स्पेक्ट्रम को बताते हुए है। अगर आप मुझसे पूछें तो सुपर रोशन नहीं।
उदाहरण के लिए, केवल एस-मैट्रिक्स का उपयोग करके क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत तैयार करने के प्रयास हैं, जो विभिन्न ऊर्जा और कोणों पर कणों के बिखरने की संभावनाओं का वर्णन करता है। लेकिन उन संभावनाओं को बताते हुए एक सिद्धांत को परिभाषित करना। ऐसा कोई समीकरण नहीं है जो एक हल कर सकता है जो आपको उन संभावनाओं को देगा (जब तक कि हम विहित मात्रा का उपयोग नहीं करते हैं)। एस-मैट्रिक्स फॉर्मूलेशन के साथ एक अंतर्निहित मुद्दा भी है, क्योंकि यह बड़े पैमाने पर कणों के लिए ठीक से खाता नहीं है।
राज्यों की अनंत संख्या को सूचीबद्ध करने के बजाय, समीकरणों के एक सीमित सेट से निर्धारित एक क्वांटम सिद्धांत में राज्यों का स्पेक्ट्रम होना उपयोगी है। यही कारण है कि विहित मात्रा का उपयोग व्यापक रूप से किया जाता है।
मुद्दा यह है कि क्वांटम यांत्रिकी को समझने में मूलभूत समस्या है, एक तार्किक दृष्टिकोण से, पीछे की ओर से। हम शास्त्रीय भौतिकी की समझ से शुरू करते हैं, और क्वांटम भौतिकी की खोज करना चाहते हैं। लेकिन आप एक कम मौलिक सिद्धांत से अधिक मौलिक सिद्धांत प्राप्त नहीं कर सकते। दूसरी ओर, क्वांटम यांत्रिकी से शास्त्रीय भौतिकी प्राप्त करना संभव है, अगर केवल एक ही इसे सही ढंग से तैयार करता है। लेकिन ऐसा करने के लिए, हमें पहले क्वांटम यांत्रिकी का एक सही सूत्रीकरण करना होगा।
ऐतिहासिक रूप से, विहित मात्रात्मकता महत्वपूर्ण थी, क्योंकि इसने डायराक (जिसने इसे पेश किया था) ने क्वांटम यांत्रिकी का एक सही गणितीय सूत्रीकरण स्थापित करने में सक्षम बनाया। तार्किक रूप से यह इतना महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि तार्किक तर्क विपरीत दिशा में काम करता है।
डायक, और वॉन न्यूमैन, ने हमें समस्या का दृष्टिकोण करने के लिए एक और तरीका दिया, जो कि डायराक-वॉन न्यूमन एक्सिम्स पर आधारित है । गणितीय दृष्टिकोण से, ये स्वयंसिद्ध अधिक संतोषजनक हैं, और वे हमें लगाने के बजाय विहित परिमाणीकरण संबंधों (हिल्बर्ट स्थान के गुणों से) को प्राप्त करने में सक्षम बनाते हैं। यह सवाल बदल देता है, जो "हिल्बर्ट स्पेस का उपयोग क्यों करना चाहिए?" प्रश्न वास्तव में वॉन न्यूमैन द्वारा उत्तर दिया गया था , लेकिन एक बात वॉन न्यूमैन नश्वर को गणित समझा रहा था पर अच्छा नहीं था। पुस्तक लगभग अपठनीय है, और आगे एक प्रयास की व्याख्या "क्वांटम तर्क" ज्यादा बेहतर नहीं है।
मैंने अपना प्रकाशित पत्र लिखा था कि सशर्त खंडों का हिल्बर्ट स्थान स्पष्ट रूप से स्पष्ट करता है कि क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय संरचना का क्या अर्थ है, और मुझे आशा है कि यह आपको अधिक सहज ज्ञान दे सकती है। मैंने इस पर विस्तार किया है, और अपनी पुस्तकों में (प्रोफ़ाइल देखें) आवश्यक विवरण में भरा है।
एक शास्त्रीय क्षेत्र को मात्रा देना आमतौर पर क्वांटम यांत्रिकी को पेश करने का सबसे आसान तरीका है। हालांकि, यह वास्तव में एक जादुई चाल की तरह लगता है ... दूसरी तरफ, किसी भी शास्त्रीय क्षेत्र को पेश किए बिना क्यूएम को प्राप्त करना संभव है। ऐसा करने की कुंजी क्यूएम के पथ अभिन्न सूत्रीकरण का उपयोग करना है।
शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक यूलर-लैग्रे समीकरण या गति के लैगरेंज समीकरण को एक शास्त्रीय सिद्धांत से कम कर सकते हैं, अर्थात, शास्त्रीय क्रिया को कम करके। मूल रूप से, पथ अभिन्न सूत्रीकरण में क्वांटम क्षेत्र समीकरणों को प्राप्त करने के लिए क्वांटम कार्रवाई को कम करता है। यह एक मध्यवर्ती शास्त्रीय क्षेत्र को परिभाषित करने की आवश्यकता के बिना किया जाता है।
एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि पथ अभिन्न सूत्रीकरण विहित मात्रात्मक दृष्टिकोण के बराबर है। हालांकि, पहले क्यूएम को लागू करने के लिए अधिक प्राकृतिक तरीके की तरह लगता है, कम से कम वैचारिक रूप से।
इस दृष्टिकोण में कमरे में एक छोटा हाथी है: पथ इंटीग्रल खुद को गणितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया गया है, अर्थात्, गणितीय दृष्टिकोण से कठोरता से पथ को व्यापक रूप से परिभाषित करने के लिए व्यापक रूप से स्वीकृत और अच्छी तरह से परिभाषित तरीका नहीं है। लेकिन भौतिकविदों को परवाह नहीं है: डी
टीएल, डीआर
मैं आपको क्यूएम के पथ अभिन्न सूत्रीकरण को देखने का सुझाव देता हूंhttps://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation