वितरण में अभिसरण $(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$
वितरण के अनुक्रम को परिभाषित करें $u_n$।
चलो $u_n\to u$ में है $D'(X)$ और मान लें कि हमारे पास एक seuqence है $\varphi_n\in C^\infty_c(X)$ ऐसा है कि $\varphi_n\to \varphi $ में है $C_c^\infty(X)$।
क्या हम दिखा सकते हैं? $$(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$$
मुझे पता है कि हम दिखा सकते हैं $(u_n,\phi) \to (u,\phi)$ किसी के लिए $\phi\in C_c^\infty(X)$,तथा $(u_n,\varphi_j) \to (u_n,\varphi)$ प्रत्येक के लिए $n$उन्हें एक साथ कैसे संयोजित करें?
$$\lim_k\lim_n (u_n,\varphi_k) = (u,\varphi)$$
लेकिन वास्तव में दो एक ही चर नहीं?
जवाब
मेरा ये अनुमान है $X$ का एक खुला सबसेट है $\mathbb{R}^n$। किसी भी कॉम्पैक्ट सबसेट के लिए$K$ का $X$, जाने दो $C_K^{\infty}(X)$ सभी के फ़्रीचेट स्थान को निरूपित करें $f \in C_c^{\infty}(X)$ ऐसा है कि $\text{supp}(f) \subset K$।
एक गैर तुच्छ प्रमेय के बारे में सख्त आगमनात्मक सीमा टोपोलॉजी में अभिसरण $C_c^{\infty}(X)$ तात्पर्य है कि वहाँ होना चाहिए $n_0 \geq1$ और एक कॉम्पैक्ट सबसेट $K \subset X$ ताकि प्रत्येक $\varphi_n$ साथ से $n \geq n_0$ तथा $\varphi$ खुद के हैं $C_{K}^{\infty}(X)$ और कि $\varphi_n \rightarrow \varphi$इस अंतरिक्ष में। प्रतिबंध का नक्शा$C_{c}^{\infty}(X)^{\ast} \rightarrow C_K^{\infty}(X)^{\ast}$ कमजोर-सितारा टोपोलॉजी के लिए निरंतर है और इसलिए प्रतिबंधित वितरण का क्रम है $u_n|_{C_K^{\infty}}$ प्रतिबंधित वितरण में परिवर्तित हो जाता है $u|_{C_K^{\infty}}$ पर कमजोर सितारा टोपोलॉजी में $C_K^{\infty}(X)^{\ast}$।
इस प्रकार हमने अपनी समस्या को यह साबित करने के लिए कम कर दिया है कि हर फ्रीचैट अंतरिक्ष में है $V$, वैक्टर के हर अभिसरण अनुक्रम के लिए $\varphi_n \rightarrow \varphi$ और निरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं के कमजोर-स्टार अभिसरण अनुक्रम $\ell_n \rightarrow \ell$, अपने पास $\ell_n(\varphi_n) \rightarrow \ell(\varphi)$ में है $\mathbb{C}$, जैसा $n \rightarrow \infty$।
एक और आसान कमी से, यह मामले में यह साबित करने के लिए पर्याप्त है $\varphi=0$ तथा $\ell = 0$।
जैसा कि इस उत्तर में बताया गया है, यह फ्रीचेट स्थानों में एकसमान बंध्यता-सिद्धांत से होता है । इस प्रमेय का तात्पर्य है कि परिवार$\{\ell_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ स्वचालित रूप से सम-निरंतर है, जिसका अर्थ है, कोई भी दिया गया $\varepsilon >0$, वहाँ है $U \subset X$ खुला हुआ, $0\in U$, ताकि सभी के लिए $(n,v) \in \mathbb{N} \times U$ अपने पास $|\ell_n(v)| < \varepsilon$। तो दिया$\varepsilon$, पहले ऐसे चुनें $U$ और फिर ले लो $n$ पर्याप्त रूप से इतना बड़ा $\varphi_n \in U$।