विवर्ण उत्तल जोखिम मापक
मुझे आशा है कि आप इस सवाल के साथ मेरी मदद कर सकते हैं कि मैं वास्तव में संघर्ष करता हूं। क्या विचरण एक उत्तल जोखिम मापक है? मुझे लगता है कि नहीं, लेकिन मुझे एक काउंटर उदाहरण ढूंढना वास्तव में कठिन लगता है।
यहाँ मेरे विचार हैं मैंने एक उदाहरण खोजने की कोशिश की जहाँ:$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$। मुझे पता है$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$।
अब, यदि सहसंबंध अधिकतम है, तो किस मामले में $corr(X,Y)=1$ तब फिर:$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$।
लेकिन मुझे अभी भी कोई उदाहरण नहीं मिल रहा है कि यह कहां से अधिक है $\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$।
क्या आप मुझे कोई संकेत दे सकते हैं? मैं इसकी अत्यधिक सराहना करता हूँ।
जवाब
आइए हम आपके अधिकतम सहसंबंध मामले पर विचार करें। आप ऐसा मान प्राप्त करने का प्रयास कर रहे हैं
$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$
या
$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$
या
$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$
या
$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$
या
$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$
जो स्पष्ट रूप से कभी किसी के लिए सच नहीं है $0\leq\lambda\leq 1.$ क्योंकि LHS अधिकतम सहसंबंध मामले में सबसे बड़ा है:
$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$
और विचरण एक उत्तल जोखिम मापक है।