वो दिखाओ $2^n-1 \neq k^y$ विषम के लिए $y$ [डुप्लिकेट]
के लिये $n\in \mathbb N$, $n>1$ साबित करो $$2^n-1 \neq k^y$$ सबके लिए $k,y \in \mathbb N_{\geq 2}.$
विरोधाभास के लिए मानते हुए कि वहाँ मौजूद है $(k,y)$ ऐसा है कि $2^n-1 = k^y$, मैं यह साबित करने में सफल रहा कि जोड़ी एक k के लिए भी मौजूद नहीं है, और एक y के लिए भी।
मुझे यह साबित करने की आवश्यकता है कि यह एक विषम y के लिए भी मौजूद नहीं है।
मुझे इस प्रमाण में उपयोग करने की आवश्यकता है कि
$$\frac{x^{2k+1}+1}{x+1} = x^{2k} -x^{2k-1}+\cdots+1.$$
धन्यवाद!
जवाब
अगर $y$ विषम है (उदा $y=2z+1$), फिर:
$$2^n=k^y+1=(k+1)(k^{2z}-k^{2z-1}+\ldots+ 1)$$
इसका मतलब है कि दाईं ओर दूसरे कोष्ठकों में योग है $2z+1$ शर्तें, सभी विषम हैं, इसलिए पूरी राशि विषम है।
यह बदले में इसका मतलब है $2^n\mid k+1$ मुख्य कारक के सभी घटनाओं के रूप में $2$ पहले कारक में मौजूद होना चाहिए $k+1$।
हालाँकि, जैसा कि हमारे पास भी है $k+1\mid 2^n$, इस का मतलब है कि $k+1=2^n$, अर्थात $k=2^n-1=k^y$। तो या तो$k=1$ इसलिए $2^n=2$, अर्थात $n=1$ (विरोधाभास), या $k>1$, जो ये दर्शाता हे $y=1$ (अंतर्विरोध)।