वो दिखाओ $\angle BOC=\angle AOD$।

Question

चलो $E$ तथा $F$ उत्तल चतुर्भुज के विपरीत पक्षों के चौराहे हों $ABCD$। दो विकर्ण मिलते हैं$P$। चलो$O$ से लम्ब का पैर हो $P$ सेवा मेरे $EF$। वो दिखाओ$\angle BOC=\angle AOD$।

यहाँ चित्र है:

मैंने परिभाषित किया $X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $ ।

अब, एक ज्ञात लेम्मा द्वारा, हमारे पास है $(Y,X;P,E)=-1$ और एपोलोनियस लेम्मा द्वारा, हम प्राप्त करते हैं $PO$ बाइसेक्ट्स $\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $।

इसी तरह, हम जानते हैं कि $(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$ बाइसेक्ट्स $\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$ ।

लेकिन यह कोण समानताएं मुझे नहीं ले जाती हैं। जहां कोई व्यक्ति कुछ संकेत दे सकता है? अग्रिम में धन्यवाद !

Answer 1

कृपया मुझे समस्या का संक्षिप्त विवरण दें

एक त्रिकोण $\triangle ABC$ और तीन केवियन $AD, BE, CF$ जिस पर सहमति $P$दिया जाता है। परिभाषित करें$O:=EF\cap AD$ और जाने $H$ का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण हो $O$ पर है $BC$। साबित करो$\angle EHA=\angle KHF$।

चलो $L:=AH\cap EF$ तथा $K:=HP\cap EF$। हम पहले यह साबित करेंगे$\angle LHO=\angle OHK$, और फिर वह $\angle EHO=\angle OHF$। निरीक्षण करें कि परिणाम इन टिप्पणियों से निकला है।

पहले भाग के लिए, ध्यान दें कि - जैसा कि सर्वविदित है - $$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$ जबसे $(J,O; K, L)$ हार्मोनिक है और $\angle OHJ=90^\circ$, एक शिशुओं, जो वास्तव में, $\angle LHO=\angle OHK$। दूसरे भाग को भी इसी तरह सिद्ध किया जा सकता है, क्योंकि हमारे पास पहले से ही है$(J,O;F,E)=-1$।