व्युत्पन्न ऑपरेटर के लघुगणक का मैट्रिक्स क्या है ( $\ln D$)? विभिन्न गणित क्षेत्रों में इस ऑपरेटर की क्या भूमिका है?

Feb 01 2021

बाबुसी और दातोली, व्युत्पन्न ऑपरेटर के लघुगणक पर , arXiv: 1105.5978 , कुछ शानदार परिणाम देता है:\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} मुझे आश्चर्य है, इसका मैट्रिक्स क्या है, या अन्यथा, क्या इसे किसी फ़ंक्शन पर लागू करने का एक तरीका है?

गणित के विभिन्न क्षेत्रों में इसकी सहज भूमिका क्या है?

जवाब

4 CarloBeenakker Feb 01 2021 at 14:23

फूरियर रूपांतरण पर $x\mapsto k$, यह मैट्रिक्स तत्वों के साथ एक विकर्ण ऑपरेटर बन जाता है $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$। तो में मैट्रिक्स तत्वों को खोजने के लिए$x$-प्रस्तावना हमें लघुगणक के फूरियर रूपांतरण को पलटना होगा $\ln k$। इस MSE उत्तर से फूरियर रूपांतरण के लिए$\ln |k|$ (निरपेक्ष मूल्य संकेतों के साथ) मैं यह निष्कर्ष निकालूंगा $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$

इस अंकन का अर्थ है कि $\ln D$ एक समारोह में अभिनय $f(x)$ एक नया कार्य करता है $g(x)$ द्वारा दिए गए $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$

3 TomCopeland Feb 10 2021 at 04:54

एक की व्याख्या $\ln(D)$ प्रक्षेप पर निर्भर करता है कि एक सामान्य व्युत्पन्न ऑपरेटर और उसकी सकारात्मक पूर्णांक शक्तियों का चयन एक आंशिक पूर्णांक-व्युत्पन्न ऑपरेटर (FID), यानी, एक व्याख्या के लिए करता है $D$किसी भी वास्तविक (या विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से जटिल संख्या) द्वारा प्रत्यावर्तित, जो बदले में, उन कार्यों पर निर्भर करता है जिन पर एफआईडी को कार्य करना है। विस्तार नीचे वर्णित B & डी एस तीन पहचान पैदा करता है और गुण है कि पिंचरले FIDS के किसी भी वैध परिवार (पर इस एमओ-क्यू देखने पर लगाया के साथ संगत है एक 1/2 व्युत्पन्न और इस एमओ-क्यू पर आंशिक पथरी )। इसे जटिल चर में संपूर्ण कार्यों के 'आधार सेट' पर कार्रवाई द्वारा परिभाषित किया जा सकता है$\omega$ जैसा

$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$

कहां है $H(x)$ हीविसाइड स्टेप फंक्शन है, और $\alpha$ तथा $\omega$ सामान्यीकृत कार्यों और वितरण के सिद्धांत में सामान्य पहचान के साथ कोई भी जटिल संख्या हो सकती है

$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$

साथ से $n=0,1,2,3,...$।

ध्यान दें कि वास्तविक रेखा पर फूरियर रूपांतरण के साथ ऐसा करने के लिए बहुत कम है या इस तरह से जुड़े किसी भी छद्म-भिन्न सेशन / प्रतीक। विशेष रूप से,$D^{\alpha}$ यहाँ गुणा से संबद्ध नहीं है $(i 2 \pi f)^{\alpha}$आवृत्ति अंतरिक्ष में। अन्य जगहों पर मैं इस FID के विभिन्न समतुल्य दृढ़ निरूपणों को 1 के रूप में दिखाता हूं) एक सर्कल पर एक एफटी एक नियमित रूप से कॉची कॉम्प्लेक्स समोच्च अभिन्न के परिवर्तन के माध्यम से, 2) यूलर बीटा के अभिन्न प्रतिनिधि के विश्लेषणात्मक निरंतरता को एक झटका-अप के माध्यम से में हडामर परिमित भाग के माध्यम से या पोचममर समोच्च के माध्यम से वास्तविक लाइन खंड या नियमितीकरण के साथ इंटीग्रल का जटिल विमान, 3) जनरेटिंग फ़ंक्शन की कार्रवाई के माध्यम से मानक व्युत्पन्न ऑपरेटर के मेलिन प्रक्षेप$e^{tD_x}$, रामानुजन के मास्टर सूत्र के एक ऑपरेटर अनुप्रयोग, या 4) सामान्यीकृत द्विपद गुणांक के एक ईमानदारी से कार्य / कार्डिनल श्रृंखला प्रक्षेप।

आइए देखें कि एफआईडी की उपरोक्त परिभाषा कितनी व्यवहार्य है; FID और तीन B & D पहचानों के एक infinitesimal जनरेटर (infinigen) से इसका संबंध; एपेल शेफ़र बहुपद अनुक्रमों की औपचारिकता के लिए एक कनेक्शन और इसलिए, सममित बहुपद / समारोह सिद्धांत; और infinigen और FID के मैट्रिक्स प्रतिनिधि।

अगर हम मान लें कि एक असीम जनरेटर है $IG$ ऐसा मौजूद है

$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$

फिर औपचारिक रूप से

$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$

$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$

और इन्फिनजेन है

$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$

कहां है $\psi(x)$ डिगामा फंक्शन है, जिसे एक समरूप फंक्शन के रूप में कॉम्प्लेक्स प्लेन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और यह रीमान ज़ेटा फंक्शन के मूल्यों से संबंधित है। $s = 2,3,4,...$।

कुछ प्रतिनिधि (जो B & D में समान पहचान देते हैं) हैं

$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$

$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$

$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$

$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$

कहां है $\lambda$ Euler-Mascheroni से संबंधित है $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$।

अन्य रेप्स और ऊपर के रेप्स पर पहुंचने के अन्य तरीके नीचे दिए गए रीफ्स में दिए गए हैं।

आइए एपेल शेफ़र बहुपद अनुक्रमों की औपचारिकता के माध्यम से एक रास्ता देखें, जो कि इनफिनिजेन के लिए स्पष्ट रूप से भिन्न सूत्र के प्रतिपादक पर अभिसरण के किसी भी मुद्दे को सुलझाता है और सममित बहुपद / कार्यों के सिद्धांत से कनेक्शन की अनुमति देता है।

बहुपद के प्रासंगिक एपेल अनुक्रम $p_n(z) = (p.(z))^n$ जटिल चर में घातांक जनरेटिंग फंक्शन है $t$, अर्थात्, टेलर टेलर के साथ विश्व स्तर पर अभिसरण,

$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$

पारस्परिक बहुपद अनुक्रम में चार सुसंगत तरीकों से परिभाषित किया गया है $\hat{p}(z)$

1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, जैसे,

2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $, मोनोमियल पावर आधार में दो अनुक्रमों के निचले त्रिकोणीय गुणांक मैट्रिक्स के संदर्भ में $z^n$ इकाई विकर्ण के साथ,

3) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$, एक umbral दृढ़ उलटा,

4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$एक परिचालन जनरेटर।

यह इस प्रकार है कि अप्पल बहुपद की स्थापना सेशन $p_n(z)$ द्वारा परिभाषित

$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$

द्वारा दिया गया है

$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$

$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$

एक ऑपरेटर संयुग्मन, या 'गेज परिवर्तन', जो संचालक का कार्य है $z$ बिजली मोनोमियल के लिए।

इसके अलावा, ऑपरेटर कम्यूटेटर के साथ $[A,B] = AB - BA$,

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$

अब फिर से पिनचेरल और एपिनेम ऑपरेटर व्युत्पन्न में प्रवेश करें, जिसे रोटा ने परिमित ऑपरेटर कैलकुलस के लिए टाल दिया। कब्र-पिंचरले व्युत्पन्न की व्युत्पत्ति अपनी कब्र-झूठ-हाइजेनबर्ग-वेल कम्यूटेटर से बिजली$[D_z,z] = 1$ जिसमें से, सामान्य री-ऑर्डर करके, पावर श्रृंखला के रूप में व्यक्त किसी भी फ़ंक्शन के लिए निहित है $D_z$

$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$

यह पिनचेरल व्युत्पन्न (पीडी) का एक अवतार है जो कार्रवाई से निम्नानुसार है $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$

लेकिन पीडी अधिक सामान्य कम करने और उठाने (सीढ़ी) से संतुष्ट होने के लिए वैध है $[L,R]= 1$।

फिर

$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$

$$ = z - \psi(1+D_z).$$

प्रतिस्थापन के साथ $ z = \ln(x)$

$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$

उठाने वाले ऑप को ऐसे परिभाषित किया गया है

$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$

के लिए एक पूरा समारोह $t$जटिल; इसलिए,

$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$

तोह फिर

$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$

$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$

और हम वास्तव में इसे पहचान सकते हैं

$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$

तथा

$$IG = \ln(D_x).$$

अब पीडी को लागू करें $\ln(D)$औपचारिक रूप से एक मैट्रिक्स प्रतिनिधि के रूप में औपचारिकता और एवेन्यू की जांच के रूप में

$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$

यह एक सामान्य फ़ंक्शन के लिए कम्यूटेटर का मूल्यांकन करके एक स्पष्ट अर्थ दिया जाता है $g(x)$ मूल पर विश्लेषणात्मक (जो हमारे 'आधार' सेट को सामान्य बनाता है) के लिए अभिन्न प्रतिनिधि का उपयोग करते हुए $R_x = -\ln(D_x)$, दे रहा है

$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$

$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$

$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$

तो हमारे पास

$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$

तथा

$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$

जिसका अर्थ

$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$

इसके अलावा, के साथ

$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$

तब फिर

$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$

$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$

कहां है

$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$

परिमित अंतर सेशन श्रृंखला व्युत्पन्न में अंतर्निहित है $D_{\alpha =0}$की न्यूटन क्षेपक

$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$

$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$

$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$

के लिये $\alpha = -m$ साथ से $m = 1,2,...$ तथा $\omega = 0$, यह न्यूटन इंटरपोलर देता है

$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$

$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$

$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$

जो लैगुएर के बहुपद संकल्पों के साथ एक वितरण अर्थ में सहमत है $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$के सूत्रों में इस एमओ-क्यू के बाद से, के साथ$c_n = f_n$ वहाँ संकेतन में,

$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$

साथ से

$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$

$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$

तो, के लिए $m$- हीविसाइड फ़ंक्शन के व्युत्पन्न,

$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$

और, इसलिए, Laguerre श्रृंखला संकल्प के गुणांक $m$- हीविसाइड फ़ंक्शन के व्युत्पन्न हैं

$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$

न्यूटन इंटरपोलर के साथ समझौते में।

को लागू करने $D_x^{-1}$ इस पहचान के दोनों पक्षों के लिए iteratively के लिए अभिसरण प्रक्षेप स्थापित करता है $\omega = 1,2,3,...$, और द्विपद विस्तार के भीतर शक्ति के आधार पर अभिनय $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ अभिसारी अभिव्यक्तियों को भी देना चाहिए।

इसी तरह के लिए $\omega=0$, हमारे पास लाप्लास परिवर्तन है (या अधिक सटीक रूप से, संशोधित मेलेनिन केंद्रीय रूप से रामानुजन के मास्टर सूत्र में बदल देता है जिसके माध्यम से एफआईडी को मानक डेरिवेटिव के मेलिन प्रक्षेप के रूप में डाला जा सकता है),

$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$

के लिये $Re(\alpha) > -1$, दे रहा है

$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$

यह लाप्लास रूपांतरित होता है और इसलिए, न्यूटन प्रक्षेप को विश्लेषणात्मक रूप से कई मानक तरीकों से जारी रखा जा सकता है (उदाहरण के लिए, वास्तविक लाइन से कॉम्प्लेक्स प्लेन के लिए हांकेल समोच्च , हैडमर्ड परिमित भाग ) से पूर्ण जटिल प्लेन तक उड़ाया जा सकता है।$\alpha$। नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए, हेंकेल समोच्च कॉन्टूर को पुन: भेदभाव के लिए सामान्य अनुबंध देता है। Hadamard-finite-part दृष्टिकोण न्यूटन इंटरपोलर को इच्छित परिणाम देने के लिए पट्टी द्वारा उचित रूप से संशोधित पट्टी की अनुमति देता है।

परिमित अंतर पर वापस लौटना $\ln(D_x)$1 पर इन्फिनिजेन की कार्रवाई, फिर, के लिए देता है $x > 0$,

$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$

$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$

कहां है $L_n(x)$ प्रश्न में B & D के पहले समीकरण के साथ समझौते में, Laguerre बहुपद हैं।

ऑपरेटर श्रृंखला के मूल्यांकन के परिणामों के प्लॉट कम हो गए $n=80$, या तो, अभिनय पर $x^2$ तथा $x^3$ विश्लेषणात्मक परिणामों से भी मिलान करें।

मैट्रिक्स प्रतिनिधि $M$ इस एकीकरण ऑप की कार्रवाई $D_x^{-1}$ पर $x^n$ सत्ता के आधार पर पर्याप्त सरल है - सभी शून्य के साथ एक मैट्रिक्स, जो पहले सबडिओगल, या सुपरडायंगल को छोड़कर, बाएं या दाएं मैट्रिक्स गुणन पर निर्भर करता है, तत्वों के साथ $(1,1/2,1/3,...)$।

मैट्रिक्स के लिए फिर से $R_x$ तब है

$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$

एक्सपेरीनेटिंग,

$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$

संबंधित मैट्रिक्स प्रतिनिधि है

$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$

(मैंने इन मैट्रिक्स संगणनाओं की संख्यात्मक रूप से जाँच नहीं की है क्योंकि मैं सामान्य रूप से अपने मैथैड डिस्क को दूसरे राज्य में भंडारण में रखता हूँ।)

की गैर-पूर्णांक शक्तियों पर कार्रवाई करने के लिए $x$, आप उन्हें द्विपदीय विस्तार में पूर्णांक शक्ति के आधार के रूप में प्रतिनिधित्व करना चाहिए

$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$

वैकल्पिक रूप से, पर लौटें $z$ प्रतिनिधि को ऊपर उठाने के मैट्रिक्स प्रतिनिधि को दोहराएं और लिखें $R_z$। यह अनंत लोअर त्रिकोणीय पास्कल मैट्रिक्स का एक सरल रूपांतरण है जो सभी लोगों के पहले सुपरडायंगल के साथ संवर्धित है। OEIS A039683 में मैट्रिक्स का एक उदाहरण है जो मोनोमियल पावर बेस में एक ऑप्स बढ़ाने के बराबर है, जिसे पॉलिऑनोमियल सीक्वेंस के लिए दूसरे अप्रोच (Riordan?) में प्रोडक्शन मैट्रिक्स के रूप में भी जाना जाता है। विभाजित बिजली के आधार पर स्विच करने के लिए इस मामले में बेहतर है$z^n/n!$। तब संवर्धित पास्कल मैट्रिक्स सभी का सरल योग मैट्रिक्स बन जाता है। एन-वें विकर्ण के साथ गुणा करें$c_n$ कहां है $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ मैट्रिक्स को उत्पन्न करने वाले ऑप के लिए उत्पन्न करने के लिए, लेकिन चूंकि, उदाहरण के लिए, $x^2=e^{2z}$, यह जल्दी से परिमित अंतर प्रतिनिधि की तुलना में लागू करने के लिए एक गन्दा एल्गोरिथ्म बन जाता है।

आगे के संदर्भ (संपूर्ण नहीं):