यदि एक विश्लेषणात्मक $f$ इन दोनों स्थितियों में से किसी को संतुष्ट करता है, तो वह स्थिर है

Question

मैं एक संस्थान के असाइनमेंट प्रश्नों की कोशिश कर रहा हूं जिसमें मैं अध्ययन नहीं करता हूं। मैं इन 2 पर फिदा हूं।

1. अगर $f$ एक क्षेत्र से अलग कार्य है $X$ में है $\mathbb{C}$ में $\mathbb{R}$ साबित करो $f$ जरूरी एक स्थिर है।

2. अगर $f$ तथा $\bar {f}$ दोनों एक क्षेत्र में विश्लेषणात्मक हैं $X$ यह दिखाएं कि वे क्षेत्र पर स्थिर हैं $X$।

प्रयास:

1. क्षेत्र हमेशा खुला है। तो, की सीमा$f$ खुला होना चाहिए (ओपन मैपिंग प्रमेय) लेकिन $\mathbb{R}$ में खुला नहीं है $\mathbb{C}$ भले ही यह पूरक के रूप में एक सिंगलटन है $\{x\}$बंद नहीं है। इसलिए, मैं इस बात पर असमंजस में हूं कि मैं बयान को कैसे साबित कर सकता हूं।

2. 2 के लिए मेरे पास दिखाने के लिए कुछ भी नहीं है क्योंकि मैं वास्तव में भ्रमित हूं जिसके कारण उपयोग करने के लिए परिणाम $\bar{f}$ प्रश्न में।

कृप्या सहायता करे।

Answer 1

1) के लिए आपका प्रमाण सही है। 2 के लिए), यदि दोनों$f$ तथा $\bar{f}$ होलोमोर्फिक (भिन्न) हैं, तो हैं $\mathrm{Re}(f)$ तथा $\mathrm{Im}(f)$, फिर भी उनकी पर्वतमाला झूठ है $\Bbb{R}$। 1 में आपने जो सिद्ध किया है, उसके अनुसार, इन दोनों को स्थिर होना चाहिए, इसलिए$f$ स्थिर है।