यदि कोडोमैन बानाच नहीं है तो ओपन मैपिंग प्रमेय विफल हो सकता है
एक Banach स्थान का एक उदाहरण दें $V$, एक आदर्श स्थान $W$, एक घिरा हुआ रैखिक विशेषण मानचित्र $T: V \to W$ और एक खुला सबसेट $G \subseteq V$ ऐसा है कि $T(G)$ में खुला नहीं है $W$।
प्रयास : विचार करें$V= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_\infty), W= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_1)$ तथा $T: V \to V: f \mapsto f$। स्पष्ट रूप से$T$ के साथ एक रैखिक आक्षेप है $$\Vert Tf \Vert_1 = \int_0^1 |f| \le \int_0^1 \Vert f \Vert_\infty = \Vert f \Vert_\infty$$
इसलिए $\Vert T \Vert \leq 1$ तथा $T$क्या घिरा हुआ है। इसके अलावा, हमारे पास है$\Vert f \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_\infty$।
अब हम दिखाते हैं $G= B_\infty(0,1)$ के लिए खुला नहीं है $\Vert \cdot \Vert_1$। वास्तव में, इसके विपरीत मान लीजिए$0$ एक है $\Vert \cdot \Vert_1$के पूर्ववर्ती बिंदु $G$। फिर वहाँ है$\epsilon > 0$ ऐसा है कि
$$B_1(0, \epsilon) \subseteq G = B_\infty(0,1)$$
इस प्रकार, के लिए $f \in C([0,1])\setminus \{0\}$ हमारे पास है $$\Vert \frac{\epsilon}{2 \Vert f \Vert_1} f \Vert_\infty \leq 1$$
अर्थात $\Vert f \Vert_\infty \leq \frac{2}{\epsilon} \Vert f \Vert_1$ के लिये $f \in C([0,1])$। लेकिन फिर मानदंड$\Vert \cdot \Vert_1$ तथा $\Vert \cdot \Vert_\infty$ समतुल्य हैं, जिसका अर्थ है कि $W$बनक है। यह एक विरोधाभास है।
प्रश्न : क्या मेरा प्रयास सही है?
जवाब
हां, आपका प्रयास सही है।
मानदंडों की समानता के लिए दोनों असमानताओं की आवश्यकता होती है, इसलिए इसका उल्लेख करना अच्छा होगा।
मुझे लगता है कि यह समझाकर भी सुधार किया जा सकता है $W$ एक Banach स्थान नहीं है।