Adanya solusi ODE yang diberikan.

Question

Saya seorang ODE, $ \frac{du}{dt} = t \log t$

Saya perlu menemukan solusi khusus di $(0,0)$

Saya memecahkan persamaan dan mendapatkan, $u = \frac{t^2}{2} \log t - \frac{t^{2}}{4} + c$

$\log$ fungsi tidak ditentukan di $0$, jadi saya mengambil batas $\frac{t^2}{2} \log t$ di $0$ dan itu $0$, jadi $c$adalah 0. Apakah itu cara yang benar. Solusi ini ditentukan di lingkungan kecil$0$, yang saya temukan menggunakan limit. Dapatkah kami mengatakan bahwa ini adalah solusi khusus di$(0,0)?$

Answer 1

Ya, sepertinya benar. Jika Anda memperluas domain ODE ke sumbu sepanjang waktu melalui$$ \dot u(t)=t\ln|t|, $$ kemudian sisi kanan terus menerus di mana-mana dan klaim biasa tentang integrasi memberikan adanya solusi, seperti untuk masalah ODE / kuadratur lainnya $\dot u(t)=f(t)$ dengan kontinyu $f$.