Atiyah-Macdonald, Kel. 2.3

Question

Latihan ini menyatakan bahwa jika $A$ adalah ring lokal dengan cita-cita maksimal $\mathfrak{m}$ dan bidang residu $k=A/\mathfrak{m}$ dan $M,N$ dihasilkan dengan sempurna $A$-modul kemudian $M\otimes_{A}N=0\implies M=0$ atau $N=0$.

Inilah yang telah saya kerjakan sejauh ini:

Untuk sebuah $A$-modul $L$ kami menulis $L_{k}=k\otimes_{A}L$ Untuk $k$-module diperoleh dari $L$dengan ekstensi skalar. Asumsikan bahwa$M\otimes_{A} N=0$. Kemudian memegang itu$(M\otimes_{A}N)_{k}=0$. Jika saya dapat membuktikan bahwa \ begin {persamaan} M_ {k} \ otimes_ {k} N_ {k} = 0 \ end {persamaan} Maka saya akan membuktikan bahwa$M=0$ atau $N=0$. Memang, untuk$k$-vektor ruang yang kita miliki bahwa \ begin {persamaan} \ dim (M_ {k} \ otimes_ {k} N_ {k}) = \ dim (M_ {k}) \ cdot \ dim (N_ {k}) \ end { persamaan} dan kami juga punya itu$M_{k}\cong M/\mathfrak{m}M$. Oleh karena itu, berdasarkan Lemma Nakayama, kami memilikinya$M_{k}=0\iff M=\mathfrak{m} M\iff M=0$ dan $N_{k}=0\iff N=\mathfrak{m} N\iff N=0$, sebagai $\mathfrak{m}$ adalah radikal Jacobson dari $A$.

Masalah: Saya tidak dapat menemukan hubungan antara$M\otimes_{A}N$ dan $M_{k}\otimes_{k}N_{k}$(meskipun menurut saya jelas). Saya telah mencoba hal-hal berikut: \ begin {persamaan} M_ {k} \ otimes_ {k} N_ {k} = (k \ otimes_ {A} M) \ otimes_ {k} (k \ otimes_ {A} N) = k \ otimes_ {A} (M \ otimes_ {k} k) \ otimes_ {A} N = k \ otimes_ {A} (M \ otimes_ {A} N) = (M \ otimes_ {A} N) _ {k } \ end {persamaan} Tapi saya tidak bisa melihatnya$M$ adalah $k$-modul dan isomorfisme $M\otimes_{k}k\cong M$ tidak valid.

Answer 1

Betulkah $M_k=M\otimes_A A/\mathfrak{m}=M\otimes_A k$. Begitu:$$ M_k\otimes_k N_k=(M\otimes_A k)\otimes_k(k\otimes_A N)$$ $$\cong M\otimes_A (k\otimes_k k)\otimes_A N\cong (M\otimes_A N)\otimes_A k=(M\otimes_A N)_k.$$Saya pikir inilah yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan argumen Anda. Perhatikan bahwa di sini kita hanya melakukan tensoring$k$dengan dirinya sendiri, dan ini masuk akal. Ini harus menjadi latihan yang baik untuk memverifikasi bahwa isomorfisme di atas memang isomorfisme.