Basis polinomial global untuk kernel polinomial matriks

Question

Membiarkan $M(x)$ kacang $m$ oleh $n$ matriks dengan entri dalam $\mathbb{C}[x]$. Misalkan untuk semua$x\in \mathbb{C}$ peringkat $M(x)$ konstan dan sama dengan $r<n$. Oleh karena itu, untuk apapun$x_0\in \mathbb{C}$ kita dapat menemukan pangkat penuh $N\in \mathbb{C}^{n,n-r}$ seperti yang $$ M(x_0)N=0. $$ Pertanyaan: apakah mungkin untuk menemukan file $n$ oleh $n-r$ matriks $N(x)$ dengan entri dalam $\mathbb{C}[x]$ seperti yang $$ M(x)N(x)=0 $$ dan $N(x)$ adalah peringkat penuh untuk semua $x\in \mathbb{C}$? Jika ya, apakah ada algoritme yang membangun? Jika tidak, apa saja halangannya? Pertanyaan itu menarik bagi saya bahkan di bawah batasan itu$M(x)$ linier dalam $x$.

Berikut adalah contoh matriks yang saya gagal temukan seperti itu $N(x)$ ($m=4, n=6, r=4$) $$ \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 2 (x+2) & 4 (x-3) & 2 (8-x) & 0 & 0 & 0 \\ -8 & 0 & -4 & 4 (x-3) & 2 (6-x) & 0 \\ \end{array} \right) $$

Answer 1

Ya, dan ada algoritma yang konstruktif. Taruh$M$ menjadi bentuk normal Smith: $ PMQ = D$ untuk dibalik $P$ dan $Q$ dan diagonal $D$. Sejak$M(x_0)$ adalah peringkat penuh untuk semua $x_0$, hal yang sama juga berlaku untuk $D$, dan dengan demikian $D$ adalah dari bentuknya $$ D = \begin{bmatrix} c_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots &0\\ 0 & c_2 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & &\vdots\\ 0 & 0 & \cdots & c_r& 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots & \vdots & & \vdots\end{bmatrix}$$ dimana $c_1, \ldots, c_r$ berada di $\mathbb C$. Karenanya, kernel$D$ adalah rentang waktu terakhir $n-r$ vektor basis standar, dan dengan demikian kernel $M$ adalah rentang waktu terakhir $n-r$ kolom dari $Q$. Kolom-kolom ini membentuk matriks peringkat penuh dalam arti yang diinginkan sejak saat itu$Q$ dapat dibalik $\mathbb C[x]$.