batas $\lim\limits_{x \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$

Question

Pertanyaan: Batas$\lim\limits_{n \to \infty} (1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x))^x$

Hal pertama yang saya perhatikan adalah: $\lim\limits_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}$ dan batasnya terlihat seperti bentuknya $(1 + \frac{1}{x})^x$. Sayangnya, saya sepertinya tidak dapat menerapkan ide-ide ini untuk memecahkan batasan. Saya tidak yakin apakah itu benar:

$$\ln(y) = \lim\limits_{x \to \infty} x \ln(1 + \frac{\pi}{2} - \arctan(x)) = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}$$

Terapkan aturan l'hopital ...?

Bisakah seseorang memastikan bahwa pendekatan ini benar, atau jika salah memberikan pendekatan yang benar?

Answer 1

Sejak $\frac{\pi}{2} - \arctan(x) =\arctan \left(\frac1x\right)\to 0$ kita bisa menggunakan itu

$$\left(1+ \frac{\pi}{2} - \arctan(x)\right)^x=\left[\left(1+ \arctan\left(\frac1x\right)\right)^{\frac{1}{\arctan\left(\frac1x\right)}}\right]^{x\arctan\left(\frac1x\right)}$$

dan kemudian mengacu pada batas standar.

Atau sebagai alternatif, mengikuti ide Anda

$$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln(1+\frac{\pi}{2}- \arctan(x))}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln\left(1+\arctan \left(\frac1x\right)\right)}{\arctan \left(\frac1x\right)}\,\frac{\arctan \left(\frac1x\right)}{\frac1x}$$

dan kemudian menyimpulkan lagi dengan batas standar.

Answer 2

$$A=\left(1+ \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x)\right)^x=\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)^x$$

$$\log(A)=x \log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$

Oleh Taylor $$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{3 x^3}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log\left(1+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}+\frac{1}{12 x^4}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$$ $$\log(A)=1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{12 x^3}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$ $$A=e^{\log(A)}=e \left(1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{8 x^2}+\frac{1}{16 x^3} \right)+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$

Edit

Mempertimbangkan $x=\frac {11}{24}\pi$ (ini cukup jauh dari $\infty$) yang arctangennya $\left(1+\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$.

nilai pastinya adalah $1.97993$ sementara ekspresi terpotong ini memberi $1.99516$.

Faktanya, kesalahan relatif lebih kecil dari $0.01$% jika $x\geq3$