Bode Plot: menghitung perubahan fase

Question

Saya perlu merencanakan fungsi transfer ini

Saat memplot grafik fase vs frekuensi, saya mengalami masalah untuk menghitung perubahan fase antara 10 dan 10 ^ 1,5. Menurut pemahaman saya, pada frekuensi = 10 fasa adalah -90 °, kemudian, ada perubahan fasa dan kemiringan harus meningkat pada kecepatan 45 ° / des tetapi ada perubahan frekuensi pada 10 ^ 1,5. Untuk menghitung derajat hingga kurva mencapai 10 ^ 1,5 saya menerapkan trigonometri sederhana sehingga dari frekuensi = 10 hingga 10 ^ 1,5 kurva telah bergerak ke atas 10.80 °. Namun, jawaban tersebut salah dan plot Bode yang sebenarnya menunjukkan bahwa dari frekuensi = 10 hingga 10 ^ 1,5 kurva telah naik 22,5 °. Bisakah seseorang menjelaskan kepada saya cara menghitung dengan benar perubahan fase dari frekuensi = 10 menjadi 10 ^ 1,5?

Answer 1

Nah, kami memiliki fungsi transfer berikut:

$$\mathcal{H}\left(\text{s}\right):=\frac{\text{X}\left(\text{s}\right)}{\text{Y}\left(\text{s}\right)}=\frac{\left(1+10^{-\alpha}\cdot\text{s}\right)\left(1+10^{-\beta}\cdot\text{s}\right)}{\left(1+10^{-\gamma}\cdot\text{s}\right)\left(1+10^{-\epsilon}\cdot\text{s}\right)}\tag1$$

Dimana \$\alpha\in\mathbb{R}_{\ge0}\$, \$\beta\in\mathbb{R}_{\ge0}\$, \$\gamma\in\mathbb{R}_{\ge0}\$, dan \$\epsilon\in\mathbb{R}_{\ge0}\$.

Kami dapat memperluas RHS dari fungsi transfer:

$$\mathcal{H}\left(\text{s}\right)=\frac{1+10^{-\beta}\cdot\text{s}+10^{-\alpha}\cdot\text{s}+10^{-\alpha}\cdot\text{s}\cdot10^{-\beta}\cdot\text{s}}{1+10^{-\epsilon}\cdot\text{s}+10^{-\gamma}\cdot\text{s}+10^{-\gamma}\cdot\text{s}\cdot10^{-\epsilon}\cdot\text{s}}=$$ $$\frac{1+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\cdot\text{s}+10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\cdot\text{s}^2}{1+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\cdot\text{s}+10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\cdot\text{s}^2}=$$ $$\frac{10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\cdot\text{s}^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\cdot\text{s}+1}{10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\cdot\text{s}^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\cdot\text{s}+1}\tag2$$

Sekarang, ketika kita bekerja dengan fungsi sinusoidial kita dapat mengganti \$\text{s}=\text{j}\omega\$:

$$\underline{\mathcal{H}}\left(\text{j}\omega\right)=\frac{10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\cdot\left(\text{j}\omega\right)^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\cdot\text{j}\omega+1}{10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\cdot\left(\text{j}\omega\right)^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\cdot\text{j}\omega+1}=$$ $$\frac{1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}}{1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}}\tag3$$

Sekarang, kita dapat mengambil argumen dari kedua sisi:

$$\displaystyle\arg\left(\underline{\mathcal{H}}\left(\text{j}\omega\right)\right)=\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)-\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)\tag4$$

Jadi, kami mendapatkan beberapa kasus berbeda:

1. Kapan \$1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2=0\$, kita mendapatkan: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=\frac{\pi}{2}\tag5$$
2. Kapan \$1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2>0\$, kita mendapatkan: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\arctan\left(\frac{\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega}{1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2}\right)\tag6$$
3. Kapan \$1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2<0\$, kita mendapatkan: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2\right|}{\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega}\right)\tag7$$
4. Kapan \$1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2=0\$, kita mendapatkan: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=\frac{\pi}{2}\tag8$$
5. Kapan \$1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2>0\$, kita mendapatkan: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=\arctan\left(\frac{\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega}{1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2}\right)\tag9$$
6. Kapan \$1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2<0\$, kita mendapatkan: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2\right|}{\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega}\right)\tag{10}$$

---

Sekarang, kami dapat menerapkannya pada masalah Anda. Kami tahu itu \$\alpha=2\$, \$\beta=\frac{5}{2}\$, \$\gamma=0\$, dan \$\epsilon=\frac{9}{2}\$. Jadi kami dapat menyelesaikan berbagai kasus:

1. Kapan \$\omega=100\sqrt[4]{10}\$, kita mendapatkan: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=\frac{\pi}{2}\tag{11}$$
2. Kapan \$0\le\omega<100\sqrt[4]{10}\$, kita mendapatkan: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\arctan\left(\frac{100\left(10+\sqrt{10}\right)\omega}{100000-\omega^2\sqrt{10}}\right)\tag{12}$$
3. Kapan \$\omega>100\sqrt[4]{10}\$, kita mendapatkan: $$\arg\left(1-10^{-\left(\alpha+\beta\right)}\omega^2+\left(10^{-\alpha}+10^{-\beta}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|\omega^2\sqrt{10}-100000\right|}{100\left(10+\sqrt{10}\right)\omega}\right)\tag{13}$$
4. Kapan \$\omega=100\sqrt[4]{10}\$, kita mendapatkan: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=\frac{\pi}{2}\tag{14}$$
5. Kapan \$0\le\omega<100\sqrt[4]{10}\$, kita mendapatkan: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\arctan\left(\frac{\left(100000+\sqrt{10}\right)\omega}{100000-\omega^2\sqrt{10}}\right)\tag{15}$$
6. Kapan \$\omega>100\sqrt[4]{10}\$, kita mendapatkan: $$\arg\left(1-10^{-\left(\gamma+\epsilon\right)}\omega^2+\left(10^{-\gamma}+10^{-\epsilon}\right)\omega\text{j}\right)=$$ $$\frac{\pi}{2}+\arctan\left(\frac{\left|\omega^2\sqrt{10}-100000\right|}{\left(100000+\sqrt{10}\right)\omega}\right)\tag{16}$$

Jika Anda menggunakan Mathematica, saya menulis kode yang dapat Anda gunakan:

Plot[Piecewise[{{Pi/2, \[Omega] == 
      100*10^(1/
          4)}, {ArcTan[(100*(10 + 
           Sqrt[10])*\[Omega])/(100000 - \[Omega]^2*Sqrt[10])], 
     0 <= \[Omega] < 100*10^(1/4)}, {(Pi/2) + 
      ArcTan[Abs[\[Omega]^2*Sqrt[10] - 
          100000]/(100*(10 + Sqrt[10])*\[Omega])], \[Omega] > 
      100*10^(1/4)}}] - 
  Piecewise[{{Pi/2, \[Omega] == 
      100*10^(1/
          4)}, {ArcTan[((100000 + 
           Sqrt[10])*\[Omega])/(100000 - \[Omega]^2*Sqrt[10])], 
     0 <= \[Omega] < 100*10^(1/4)}, {(Pi/2) + 
      ArcTan[Abs[\[Omega]^2*Sqrt[10] - 
          100000]/((100000 + Sqrt[10])*\[Omega])], \[Omega] > 
      100*10^(1/4)}}], {\[Omega], 10, 10^(3/2)}, 
 AxesLabel -> {HoldForm[\[Omega][rad/s]], HoldForm[Arg[H[s]]]}, 
 PlotLabel -> HoldForm[Argument], LabelStyle -> {GrayLevel[0]}]

Outputnya, memberikan:

Merencanakan rentang yang lebih besar, memberikan: