Contoh balasan lemma Schur

Question

Saya mempelajari teori representasi dasar menggunakan GTM$42$, mengalami masalah pada lemma Schur:

Schur Lemma . Diberikan$G$ sebuah kelompok, $V$ ruang vektor aktif $\mathbb C$ dan representasi yang tidak dapat direduksi $\rho : G \to Gl(V)$. Jika peta linier$f : V \rightarrow V$ bepergian dengan semua $\rho_g, g\in G$, kemudian $f=\lambda$ untuk beberapa $\lambda\in \mathbb C$.

Bukti lemma ini tergantung pada fakta itu $\mathbb C$ditutup secara aljabar. Sekarang saya diminta untuk memberikan contoh balasan dari lemma ini kapan$V$ aktif $\mathbb Q$ tetapi tidak dapat menemukannya (tidak familier dengan subgrup $Gl(n,\mathbb Q)$). Selain itu, saya bertanya-tanya apakah counterexample ada untuk bidang apa pun yang tidak ditutup secara aljabar.

Bantuan apa pun akan dihargai.

Answer 1

Lemma Schur bergantung pada keberadaan nilai eigen yang cukup. Jadi, ambil$f$untuk tidak memiliki nilai eigen di bidang basis. Pertimbangkan misalnya rotasi bidang rasional$f = \begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}$. Ini$f$ memiliki pesanan 4, jadi saya akan mengambil $G = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ dengan $1\mapsto f$.

Sekarang $\mathbb{Q}^2$ adalah representasi yang tidak dapat direduksi (karena setiap subruang invarian yang tepat harus berupa satu dimensi) $G$ dan $f\colon\mathbb{Q}^2\to\mathbb{Q}^2$ adalah $G$-linear, tetapi bukan perkalian skalar. Secara kebetulan, ini juga memberikan contoh representasi tak tersederhanakan dari grup abelian yang bukan berdimensi 1. (Hal yang sama berlaku untuk bidang apa pun tanpa akar kuadrat dari$-1$).