Jumlah Koefisien Binomial [tertutup]

Question

Tahu apakah atau tidak $$\sum_{i = 0}^b(-1)^i\binom{b}{i}\binom{a+b-i-1}{a-i}$$ memiliki formula tertutup $a$ dan $b$ (dan tentang apa itu, jika memang demikian)?

Seharusnya begitu $b \le a$.

Answer 1

Berikut adalah bukti kombinatorial ekspresi tersebut $0$. Kedua sisi identitas menghitung jumlah$(b-1)$-subset dari $\{1,\dots,a+b-1\}$ itu termasuk $\{1,\dots,b\}$. Karena$b > b-1$, hitungan ini jelas $0$, menetapkan RHS. Untuk LHS, terapkan inklusi-pengecualian, di mana$b$ sifat yang harus dihindari adalah itu $j$ tidak muncul untuk $j \in \{1,\dots,b\}$. Secara lebih umum, argumen ini menunjukkan hal itu$$\sum_{i=0}^b (-1)^i \binom{b}{i} \binom{a+b-1-i}{k} = 0$$ untuk $k < b$, dan itu tidak membutuhkan $b \le a$.

Answer 2

Ini selalu nol. Secara kombinatorial, pertimbangkan$a + b - 1$bola. Memilih$a$ bola, dan warnai menjadi hitam dan putih sedemikian rupa sehingga hanya bola $1, \ldots, b$bisa menjadi hitam. Jumlah dalam OP adalah selisih pewarnaan dengan angka genap dan ganjil bola hitam ($i$menjadi jumlah bola hitam). Namun, pewarnaan yang valid dari set apa pun$S$ ukuran $a$Batalkan. Memang,$B = S \cap \{1, \ldots, b\}$ tidak kosong, jadi jumlahnya $\sum_{A \subseteq B} (-1)^{|A|} = 0$.

Answer 3

$(1+x)^b=\sum_{k=0}^{b} \binom{b}{k}x^k$

Sekarang, $\binom{a+b-1-i}{a-i}=\binom{a+b-1-i}{b-1}$...$(1)$

Dan, $(1+x)^{-b}=1-\binom{b}{b-1}x+\binom{b+1}{b-1}x^2-..\color{cadetblue}{(-1)^{a-b}\binom{a-1}{b-1}x^{a-b}+(-1)^{a-b+1}\binom{a}{b-1}x^{a-b+1}......+(-1)^{a}\binom{a+b-1}{b-1}x^{a+1}}+.... \tag{2}$

Mengalikan (1) dan (2) kita dengan mudah melihat bahwa koefisien $x^a$ di rhs $$(-1)^a\sum_{I=0}^{b}(-1)^i\binom{b}{i}\binom{a+b-i-1}{a-i}$$.

Tapi sisi kiri $(1)×(2)$ adalah 1. Oleh karena itu, koefisien $x^a, a\geq 1$ adalah $0$.

Karenanya, $$\sum_{I=0}^{b}(-1)^i\binom{b}{i}\binom{a+b-i-1}{a-i}=0$$