Memecahkan ODE nilai eigen berulang

Question

Saya mencoba untuk menyelesaikan sistem: $$ \bar{x}' =\left(\begin{array}{rr}-8 & 4 \\ 0 & -8\end{array}\right)\bar{x}+\left(\begin{array}{rr}3e^{-8t} \\ e^{-8t} \end{array}\right),\space \bar{x}(0)=\left(\begin{array}{rr}1 \\ 3 \end{array}\right) $$

Sejauh ini saya yakin bahwa dengan akar yang berulang $-8$, kami memiliki solusi umum: $$ \bar{x}(t)=C_1\left(\begin{array}{rr}1\\ 0\end{array}\right)e^{-8t}+C_2\left(\begin{array}{rr}1\\ 0\end{array}\right)te^{-8t}+C_2\left(\begin{array}{rr}0\\ \frac{1}{4}\end{array}\right)e^{-8t}$$

Lalu saya memilih solusi khusus:

$\bar{x}_p=\bar{a}e^{-8t}+\bar{b}te^{-8t}+\bar{c}t^2e^{-8t}$

$\bar{x}_p'=-8\bar{a}e^{-8t}+\bar{b}(e^{-8t}-8te^{-8t})+\bar{c}(2te^{-8t}-8t^2e^{-8t})$

Kemudian menyamakan: $\bar{x}_p'=A\bar{x}_p+\left(\begin{array}{rr}3e^{-8t} \\ e^{-8t} \end{array}\right)$

$e^{-8t}$: $-8\bar{a}+\bar{b}=A\bar{a}+\left(\begin{array}{rr}3 \\ 1 \end{array}\right)$

$te^{-8t}$: $-8\bar{b}+2\bar{c}=A\bar{b}$

$t^2e^{-8t}$: $-8\bar{c}=A\bar{c}$

Memecahkan $-8\bar{c}=A\bar{c}$:

$-8c_1+4c_2=8c_1$, jadi $c_2=0$

$-8c_2=-8c_2$, jadi $c_1=\alpha$

$\bar{c}=\left(\begin{array}{rr}\alpha \\ 0 \end{array}\right)$

Memecahkan $-8\bar{b}+2\bar{c}=A\bar{b}$:

$-8b_1+4b_2=-8b_1+2\alpha$

$-8b_2=-8b_2+0$

$\bar{b}=\left(\begin{array}{rr}\beta \\ \frac{alpha}{2} \end{array}\right)$

Tapi aku tidak berada di tempat yang dekat untuk menemukan $\bar{a}$, $\bar{b}$ dan $\bar{c}$untuk menyelesaikan solusi saya karena saya memiliki terlalu banyak variabel gratis. Adakah yang bisa melihat di mana saya salah karena saya sedikit bingung? Atau tawarkan metode licin yang lebih baik karena milik saya tampaknya cukup kikuk ...

Answer 1

Kami diberikan

$$x' = Ax + g = \left(\begin{array}{rr}-8 & 4 \\ 0 & -8\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{rr}3e^{-8t} \\ e^{-8t} \end{array}\right),\space x(0)=\left(\begin{array}{rr}1 \\ 3 \end{array}\right)$$

Kami menemukan nilai eigen / vektor eigen dan memiliki solusi yang saling melengkapi

$$ x_c(t)=e^{-8t}\left(c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 \\ \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \right)\right)$$

Karena nilai eigen dan suku non-homogen, kami memilih

$$x_p(t) = e^{-8t}(\vec a + \vec b t + \vec ct^2)$$

Ini memberi

$$x_p'(t) = e^{-8t}((-8 \vec a + \vec b) + (-8\vec b + 2 \vec c) t + (-8\vec c)t^2)$$

Kita punya

$$x_p'(t) = A x_p(t) + \vec g \implies \vec g = x_p'(t) - A x_p(t)$$

Menulis ini (membagi suku eksponensial)

$$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1-4a_2 \\ b_2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 c_1 - 4 b_2 \\ -2c_2 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} -4c_2 \\ 0 \end{pmatrix}t^2$$

Dari ini, kita dapatkan

$$a_1 = a_2 = c_2 = 0, b_1 = 3, b_2 = 1, c_1 = 2$$

Sekarang kita bisa menulis

$x(t) = x_c(t) + x_p(t) =e^{-8t}\left(c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 \\ \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \right)\right) + e^{-8t}\begin{pmatrix} 2t^2+ 3t \\ t \end{pmatrix}$

Menggunakan ini $x(t)$ dengan IC, kita dapatkan

$$x(t) = e^{-8t}\begin{pmatrix} 2t^2+15t+1 \\ t+3 \end{pmatrix}$$

Catatan: Kami menggunakan Koefisien Belum Ditentukan untuk menyelesaikan sistem ini dan itu hanya satu pendekatan, ada banyak metode lain.