Mengapa variasi parameter bekerja?
Saya melihat pada variasi metode parameter, dan jujur saja, ketika saya mengambil kursus persamaan diferensial saya, saya merasa terlalu banyak Hocus Pocus.
Misalnya, ada ini
https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/VariationofParameters.aspx
Saya tidak tahu darimana (3) itu keluar.
Ia mengatakan:
"Sekarang, tidak ada alasan sebelumnya untuk percaya bahwa ini bisa dilakukan. Namun, kami akan melihat bahwa ini akan berhasil."
Profesor persamaan diferensial saya tidak menjelaskannya. Itu tidak keterlaluan jadi saya menggunakan, hanya sebagai resep. Saya ingin memiliki beberapa intuisi, beberapa ide di baliknya.
Saat Anda menyelesaikan beberapa persamaan di mana Anda perlu mengintegrasikan dari kedua sisi, misalnya $$ \int f(t) dt = \int g(t) dt $$ Maka Anda punya $F(t)+c_{1}=G(t)+c_{2}$, tetapi Anda hanya menulis $F(t)=G(t)+c$ karena $c_{1}$ dan $c_{2}$tidak masalah, hanya perbedaan mereka. Saya kira sesuatu yang serupa sedang terjadi di sana, ada banyak cara untuk menulisnya dengan fungsi yang berbeda dan Anda tidak tertarik pada$u_{1}(t)$ dan $u_{2}(t)$ tetapi pada hubungan di antara keduanya, jadi Anda memilihnya sesuai untuk menyederhanakan persamaan sebagai hubungan yang akan dipertahankan.
Tapi saya ingin mendengar beberapa ide, beberapa intuisi di baliknya, karena setiap kali seseorang meminta bantuan saya dengan persamaan diferensial, saya ingin memberi tahu mereka bahwa saya tidak tahu apa-apa tentang mereka, karena itulah yang saya rasakan.
Terima kasih atas waktu Anda.
Jawaban
Cara yang menarik untuk memahami variasi parameter adalah sebagai metode faktor integrasi multidimensi. Anda dapat menulis ulang sistem persamaan diferensial linier Anda sebagai persamaan diferensial linier orde pertama dengan banyak variabel, yaitu sebagai \ begin {persamaan} x ^ \ prime (t) + A (t) x (t) = f (t), \ akhir {persamaan} di mana$x(t),f(t)$ adalah $n$vektor -dimensi dan $A(t)$ adalah $n\times n$ matriks (dalam kasus Anda $x(t) = (g(t),g^\prime(t),...,)$ jika $g$adalah solusi untuk sistem linier orde tinggi). Sebenarnya masalah ini lebih umum.
Sekarang biarkan $B(t)$ menjadi matriks fundamental untuk sistem homogen yang sesuai, yaitu kolom $B(t)$ adalah $n$ solusi bebas linier ke persamaan yang sesuai dengan $f = 0$. Artinya itu$B(t)$ dapat dibalik untuk semua $t$ selama matriks koefisien $A$kontinu (teorema Habel), dan memenuhi \ begin {persamaan} B ^ \ prime (t) + A (t) B (t) = 0. \ end {persamaan}
Kami bisa menghitung $(B^{-1})^\prime(t)$ dengan membedakan identitas $B^{-1}(t)B(t) = I$untuk mendapatkan \ begin {persamaan} (B ^ {- 1}) ^ \ prime (t) B (t) + B ^ {- 1} (t) B ^ \ prime (t) = 0. \ end {persamaan} Menggunakan itu$B^\prime(t) = -A(t)B(t)$, kita mendapatkan \ begin {persamaan} (B ^ {- 1}) ^ \ prime (t) B (t) = B ^ {- 1} (t) A (t) B (t), \ end {persamaan} sehingga (membatalkan$B(t)$yang dapat dibalik) \ begin {persamaan} (B ^ {- 1}) ^ \ prime (t) = B ^ {- 1} (t) A (t). \ end {persamaan}
Jadi $B^{-1}(t)$adalah faktor pengintegrasi untuk persamaan asli dan kita mendapatkan \ begin {persamaan} (B ^ {- 1} x) ^ \ prime (t) = B ^ {- 1} (t) (x ^ \ prime (t) + A (t) x (t)) = B ^ {- 1} (t) f (t). \ end {persamaan}
Memecahkan $x(t)$, kita dapatkan \ begin {persamaan} x (t) = B (t) \ left (\ int_0 ^ t B ^ {- 1} (t) f (t) + C \ right), \ end {persamaan} di mana vektor$C$ tergantung kondisi awal.
Ini menjelaskan mengapa solusi dapat ditulis sebagai kombinasi linier (dengan koefisien yang bervariasi waktu) dari solusi homogen fundamental (kolom $B(t)$).