Opsi pada sebuah Opsi
Berapa nilai kontrak (harus dibayar saat ini $t_0$) yang memberi hak (tetapi bukan kewajiban) untuk membeli opsi Vanilla Call (dengan strike K tertentu) dengan harga yang telah ditentukan sebelumnya $p$ di masa depan $t_e$? Harga,$p$ ditentukan pada $t_0$ dan dibayar pada $t_e$jika pemegang menggunakan hak untuk membeli opsi. Asumsikan stok lognormal dengan volatilitas konstan.
Jawaban
Buktinya relatif lama, jadi saya fokus menampilkan penalaran dan langkah-langkah utamanya.
Kami mengerjakan model Black-Scholes. Tanpa kehilangan sifat umum, kami fokus pada opsi dengan pemogokan$P$ untuk membeli $t_e$ opsi panggilan Eropa berakhir pada $T$, ditulis di atas saham $S$. Harapan selalu diambil sehubungan dengan tindakan risiko netral$Q$ kecuali dinyatakan lain, dan kami menulis $E_t(\cdot):=E(\cdot|\mathscr{F}_t)$.
Nilai $C_t$ opsi panggilan Eropa sama dengan: $$C_t=E_t\left(e^{-r(T-t)}\max\{S_T-K\}\right)$$
Nilai $O_t$ dari opsi atas opsi panggilan Eropa diberikan oleh: $$\begin{align} O_t &=E_t\left(e^{-r(t_e-t)}\max\{C_{t_e}-P,0\}\right) \\&=e^{-r(t_e-t)}E_t\left( \max\left\{E_{t_e}\left(e^{-r(T-t_e)}\max\{S_T-K,0\}\right)-P,0\right\}\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\left(E_{t_e}\left(1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)\right)-\tilde{P}\right)\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t\left(E_{t_e} \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)-1_{S_{t_e}\geq S^\star}\tilde{P}\right)\right) \\\tag{1}&=e^{-r(T-t)}\left( E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}S_T\right) -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}\right)K -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)\tilde{P} \right) \end{align}$$ di mana ketidaksetaraan terakhir berasal dari hukum ekspektasi yang berulang, $\tilde{P}:=e^{r(T-t_e)}P$ adalah serangan majemuk, dan $S^\star$ adalah nilai $s$ yang menyelesaikan persamaan berikut: $$\tag{2}c(s,T-t_e)-\tilde{P}=0$$ dimana $c$ adalah harga Black-Scholes yang tidak didiskontokan untuk opsi panggilan Eropa: $$c(s,\tau):=se^{r\tau}\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)-K\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)$$
Dalam praktiknya, kuantitas $S^\star$ dapat dihitung dengan menyelesaikan Persamaan numerik $(2)$, misalnya oleh Newton-Raphson. Sekarang, suku ketiga dalam Persamaan$(1)$ hanyalah kemungkinan variabel log-normal berada di atas $S^\star$. Dengan analogi dengan Black-Scholes klasik, ini sama dengan:$$\tag{3.a}E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)=\Phi\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}}\right)$$
Untuk menghitung suku kedua dalam $(1)$, kami definisikan $Z$ dan $Y$ sebagai dua variabel acak normal independen dengan mean nol dan varians unit untuk mewakili kenaikan Brown dari $t$ untuk $t_e$ dan dari sana ke $T$. Perhatikan bahwa:$$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)+\sigma \sqrt{t_e-t}Z}\geq S^\star,\ S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\left(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y\right)}\geq K\right\}} \\\tag{4} &=1_{\left\{Z\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ dimana $X$ adalah variabel normal standar ketiga dengan korelasi berikut dengan $Z$: $$\rho:=\frac{\text{Cov}(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y,Z)}{\sqrt{V(\sqrt{T-t_e}Z+\sqrt{t_e-t}Y)V(Z)}}=\sqrt{\frac{t_e-t}{T-t}}$$ Oleh karena itu istilah kedua dalam Persamaan $(1)$ adalah probabilitas normal bi-variate kumulatif berakhir $Z$ dan $X$ diparameterisasi oleh korelasi mereka $\rho$: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \\[6pt]\tag{3.b} &\quad=\Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$
Untuk suku pertama dalam Persamaan $(1)$, kami mengubah ukuran ekspektasi ke ukuran saham dimana numéraire adalah saham $S$, yang akan kami tulis $\mathcal{S}$: $$\begin{align} E_t^\mathcal{Q}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) &=E_t^\mathcal{S}\left(e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T}1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) \\ &=e^{r(T-t)}S_tE_t^\mathcal{S}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \end{align}$$
Proses Radon-Nikodym yang disiratkan oleh perubahan ukuran ini adalah: $$\begin{align} \left.\frac{d\mathcal{Q}}{d\mathcal{S}}\right|_{\mathscr{F}_t} &=e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T} \\ &=e^{\frac{\sigma^2}{2}(T-t)-\sigma W^\mathcal{Q}_t} \end{align}$$ Oleh karena itu, "Proses Novikov" untuk perubahan ukuran ini $\theta_t:=-\sigma t$. Jadi proses berikut ini adalah Gerak Brown di bawah ukuran stok:$$W^\mathcal{S}_t=W^\mathcal{Q}_t-\sigma t$$
Ini menyiratkan bahwa penyimpangan saham menurut ukuran baru ini meningkat $\sigma^2$. Kami dapat memanfaatkan Persamaan$(4)$ tapi kali ini pada variabel normal standar $Z'$, $Y'$ dan $X'$ di bawah ukuran stok $\mathcal{S}$: $$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \\ &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ Itu adalah: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) = \\[6pt] \tag{3.c} & \quad e^{r(T-t)}S_t \Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$ Mendefinisikan: $$\begin{align} d_1 & := \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \\ d_1^\star & := \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}} \\[12pt] d_2 & := d_1-\sigma\sqrt{T-t} \\[18pt] d_2^\star & := d_1^\star-\sigma\sqrt{T-t} \end{align}$$ Kemudian gabungkan Persamaan $(1)$, $(3.a)$, $(3.b)$ dan $(3.c)$, kami mendapatkan hasil yang diinginkan: $$O_t=S_t\Phi_\rho\left(d_1^\star,d_1\right)-e^{-r(T-t)} K\Phi_\rho\left(d_2^\star,d_2\right)-e^{-r(t_e-t)}P\Phi(d_2^\star) \quad \square$$
Seperti yang Anda lihat, ini sangat mirip dengan Persamaan Black-Scholes untuk opsi panggilan:
- Istilah ketiga dari rumus penilaian untuk $O_t$ setara dengan istilah kedua dalam rumus Black-Scholes, yaitu pemogokan diskon $P$ dikalikan probabilitas bahwa opsi pada opsi tersebut akan dilaksanakan;
- Gabungan dua istilah pertama terlihat sangat mirip dengan nilai Black-Scholes dari opsi panggilan: ini diharapkan, karena opsi tersebut tertulis pada opsi panggilan. Namun, kemungkinannya$\Phi_\rho(d_1^\star,d_1)$ dan $\Phi_\rho(d_2^\star,d_2)$ memperhitungkan nilai harga saham pada $t_e$ dan $T$. Ini karena ketika Anda memasukkan opsi panggilan vanilla, Anda tahu harga saham pada tanggal perdagangan$t$ tapi tidak saat kadaluwarsa $T$. Dalam hal ini, Anda akan memasukkan opsi di lain waktu$t_e>t$, maka Anda tidak tahu nilai yang mendasari juga pada saat permulaan $t_e$ atau saat kadaluwarsa $T$: ketidakpastian yang meningkat ini ditangkap oleh distribusi normal bi-variate.
Saya pikir Anda mengacu pada opsi gabungan . Penilaiannya berdasarkan asumsi Black-Scholes diberikan di tautan. Opsi ini pertama kali diturunkan oleh Geske (1978), lihat di sini untuk kertas aslinya .