Pada pohon Suslin normal

Question

Saya membaca buku Jech "Set Theory" tepatnya di bagian tentang pohon Suslin. Pada Lemma 9.13 ia membuktikan bahwa jika ada pohon suslin, maka ada pohon suslin yang normal.

Jika $T$ adalah pohon dengan ketinggian normal $\alpha$, kemudian, secara khusus, itu memuaskannya

Untuk apapun $x\in T$ dan $height(x)<\beta<\alpha$, disana ada $y>x$ seperti yang $height(y)=\beta$.

Tetapi sepertinya aneh bagi saya, karena properti ini tampaknya menyiratkan, dengan induksi transfinite, keberadaan rantai dengan ketinggian yang sama $T$. Tetapi jika ini benar, maka pohon suslin seharusnya bukan pohon biasa, karena setiap pohon suslin memiliki ketinggian$\omega_1$dan tidak ada rantai yang tak terhitung. Apa yang kulewatkan di sini?

Answer 1

Anda kehilangan tahapan batas. Tentu, jika cabang adalah panjang penerus (yaitu memiliki elemen maksimum), Anda dapat terus memperluasnya tingkat demi tingkat untuk$\omega$lebih banyak langkah, tetapi bagaimana Anda tahu bahwa itu terus berjalan setelah itu? Untuk setiap node di cabang, ada beberapa node di atasnya di level batas berikutnya, tetapi itu tidak berarti Anda dapat mengatakan ada node di atas seluruh cabang.

Untuk contoh yang lebih konkrit tentang pohon yang memiliki ketinggian $\omega_1$ dan properti ini, tetapi tidak memiliki panjang cabang $\omega_1$, pertimbangkan pohon fungsi dari ordinal yang dapat dihitung hingga $\omega$ yang satu-ke-satu dan memiliki rentang tak terbatas bersama.