Pertukaran batas dan integral

Question

Membiarkan $f_m(x) =\lim_{n\rightarrow \infty}\cos(\pi m!x))^{2n}$; kita tahu bahwa itu adalah fungsi integral Lebesgue dan Riemann, dan$g(x)=\lim_{m\rightarrow \infty} f_m(x)$, yang tidak dapat diintegrasikan Riemann tetapi diintegrasikan Lebesgue. Saya ingin tahu apakah$$\lim_{m\rightarrow \infty}\int_0^1f_m(x)dx = \int_0^1\lim_{m\rightarrow \infty}f_m(x)dx$$ Saya tahu cara untuk membuktikannya dengan menggunakan teorema konvergensi monoton tetapi saya rasa saya tidak dapat menggunakannya di sini karena $f_m(x)$tidak monoton. Bisakah seseorang membantu saya?

Answer 1

Mempertimbangkan kosinus sebagai fungsi yang dibatasi, tidaklah mudah untuk menerapkan Teorema Konvergensi yang Didominasi dengan fungsi konstan, yang dapat diintegrasikan dengan Lebesgue dalam interval berhingga. Pernyataan itu kemudian menyusul